11.Определения скорости любой точки плоской фигуры путем сложения скорости этой точки во вращательном
|
плоское движение твёрдого тела – движение сложное. Приняв точку А за полюс заключаем, что оно состоит из двух простых движений – поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг полюса.
Плоским или плоскопараллельным движением твёрдого тела называется такое движение, при котором все точки его движутся в плоскостях параллельных некоторой неподвижной плоскости.
Примеры: качение колеса по рельсу, движение шатуна.
Изучение плоского движения твёрдого тела сводится к изучению движения плоской фигуры в её плоскости.
Рассмотрим движение плоской фигуры из положения 1 в положение 2.
Сначала переместим фигуру из положения 1 поступательно так, чтобы точка А заняла положение А1, а точка В – В/. Чтобы точка Взаняла положение В1 необходимо повернуть фигуру вокруг А1 на угол j.
Уравнения движения плоской фигуры.
Пусть плоская фигура движется в своей плоскости относительно неподвижной системы координат OХY.
Примем точку О1 за полюс.
Положение плоской фигуры будет однозначно определяться положением точки О1, то есть её координатами и углом j.
Тогда:
xo1 =
f1(t)
yo1 = f2(t) - уравнения движения плоской фигуры.
j = f3(t)
Теорема о скорости точки плоской фигуры.
Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скоростей полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.
Доказательство: Пусть плоская фигура движется в её плоскости.
Примем точку О за полюс.
Считаем поступательное движение фигуры вместе с полюсом за переносное, а вращательное вокруг полюса за относительное. Тогда скорость точки А
,
так как переносное движение поступательное,
следовательно, переносные скорости
всех точек равны скорости полюса.
.
на прямую, соединяющую эти точки.
Проекции скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки, равны.
Спроецируем на АВ:
Планом скоростей называется диаграмма, на которой отложены векторы скоростей точек тела от некоторого центра, называемого полюсом, в выбранном масштабе.
Полюсобозначается -р.
12.Мгновений центр скоростей .Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мцс. Основные случаи определения положения мцс.
мгновений центр скоростей такая точка принадлежащей плоской фигуре или связь с ней скорость которой в данном случае равна нулю .
При любом непоступательном движении плоской фигуры такая точка всегда существует. Действительно,
Пусть
в данный момент времени известно
положение МЦС фигуры. Тогда, принимая
его за полюс и учитывая, что 
,
получим по формуле (4) для произвольной
точки фигуры
т.е.
знание МЦС упрощает определение скоростей
точек плоской фигуры, т.к. сразу позволяет
определить модуль скорости по формуле
(5) и направление: 
.
Таким образом, при известном МЦС вектор скорости любой точки плоской фигуры равен
модуль определяется по формуле
а
направлен вектор 
к
отрезку РМ, соединяющему МЦС с данной
точкой М, в сторону вращения фигуры
вокруг МЦС.
В силу вышесказанного, возникает важная задача об определении положения МЦС плоской фигуры.
Положение мгновенного центра скоростей плоской фигуры может быть найдено, если:
1) задан закон движения (1) плоской фигуры (МЦС определяется с помощью дифференциальных равенств);
2) известны направления скоростей двух точек плоской фигуры, или их траектории.
Рассмотрим только случай 2). Пусть известны направления скоростей двух точек А и В фигуры. Тогда для нахождения МЦС надо из этих точек опустить перпендикуляры к направлениям скоростей. В точке пересечения этих перпендикуляров и будет МЦС.
Частные случаи определения МЦС.
а) скорости точек параллельны, но точки не лежат на общем перпендикуляре к скоростям
Ясно,
что в этом случае перпендикуляры к
скоростям параллельны, 
пересекаются
в ¥,
угловая
скорость фигуры = 0 и скорости всех её
точек в данный момент равны между собой.
Такое движение фигуры называют мгновенно
поступательным.
Замечание. Не путать мгновенно поступательное движение с поступательным: при поступательном движении скорости и ускорения всех точек равны между собой в любой момент времени, а при мгновенно поступательном равны только скорости всех точек (но не ускорения – они не равны друг другу!) и только в данный момент.
б) скорости двух точек фигуры параллельны, направлены в одну сторону и их модули не равны друг другу, а точки лежат на одном перпендикуляре к скоростям
В этом случае одних направлений скоростей не достаточно: должны быть известны и их модули.
Для нахождения МЦС надо концы векторов скоростей соединить прямой линией: в точке её пересечения с продолжением отрезка АВ и будет МЦС.
Если известно расстояние АВ, то легко получить
в) то же, что и в предыдущем случае, но векторы скоростей направлены в разные стороны; в этом случае модули скоростей могут быть и равны между собой, но должны быть известны.
Нахождение МЦС также аналогично предыдущему: концы векторов скоростей соединяем прямой линией – в точке её пересечения с отрезком АВ будет МЦС.
Если задано расстояние АВ, то аналогично пункту б) можно найти
г) качение колеса без скольжения по любой гладкой неподвижной поверхности.
Если колесо всё время остаётся в вертикальной плоскости, и отсутствуют повороты вокруг вертикальной оси, то оно совершает плоскопараллельное движение. В этом случае положение МЦС сразу известно: в точке контакта колеса с поверхностью. Действительно, если нет скольжения, то скорость точки контакта равна скорости соответствующей точки поверхности, т.е. нулю (поверхность неподвижна). По определению МЦС – здесь он и находится.
В связи с этим, интересно посмотреть распределение скоростей точек катящегося без скольжения колеса:
скорость верхней точки колеса в два раза больше скорости его центра!
Примеры определения МЦС для шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма.
Определение МЦС для шатуна АВ кривошипно-коромыслового механизма:
