25)Дифференциальное уравнение движения механической системы в обобщенных координатах (уравнение Лагранжа 2-го рода)

Полагаем, что механическая система состоит из n-точек, имеет S-степеней свободы. Рассмотрим движение i-точки, которое опишем радиус–вектором  , который является функцией обобщенных координат и времени:

Тогда скорость i-точки  :

При условии стационарных связей  . Тогда, продифференцировав по  , получим:

(1)

Уравнение (1) также называют тождеством Лагранжа.

Теперь рассмотрим кинетическую энергию системы. Она есть функция обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени.

Для системы точек:

Вычисляем частное производную по  по q и по t:

Подставляя уравнения (1), получаем:

(2)

Возьмем полный дифференциал по t:

(3)

Уравнение (3) является дифференциальным уравнением системы в обобщенных координатах или уравнением Лагранжа 2 рода.

Количество этих уравнений зависит от числа степеней свободы s.

Алгоритм решения задач с применением уравнения Лагранжа 2 рода можно разбить на 6 пунктов:

1) выбрать обобщенную координату и определить число степеней свободы s;

2) вычислить кинетическую энергию системы через обобщенную координату;

3) записать уравнение Лагранжа 2 рода в соответствии с выбранной обобщенной координатой;

4) дифференцируем в соответствии с уравнением;

5) определяем обобщенную силу, соответствующую выбранной обобщенной координате. Для этого сначала надо определить потенциальную энергию системы или работу системы:

;

6) все найденные величины подставить в уравнение Лагранжа.

 

26) Функция Лагранжа. Уравнение Лагранжа 2-го рода для консервативных

Систем.

Лагранжиа́н, функция Лагранжа   динамической системы, названа в честь Жозефа Луи Лагранжа, является функцией обобщённых координат   и описывает эволюцию системы. Например уравнения движения (для классической механики) в этом подходе получаются из принципа наименьшего действия, записываемого как:

где действие — функционал 

Уравнениями Лагранжа второго рода называют дифференциальные уравнения движения механической системы, получаемые при применении лагранжева формализма.

Вид уравнений[править | править вики-текст]

Если голономная механическая система описывается лагранжианом   (  — обобщённые координаты, t — время, точкой обозначено дифференцированиепо времени) и в системе действуют только потенциальные силы, то уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где i = 1, 2, … n (n — число степеней свободы механической системы). Лагранжиан представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий системы.

Если в системе действуют непотенциальные силы (например, силы трения), уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где   — кинетическая энергия системы,   — обобщённая сила.