Тема 10. Сферическое движение твердого тела

Сферическое движение – движение твердого тела, одна из точек которого во все время движения остается неподвижной (например, движение волчка). Точки тела движутся по сферическим поверхностям. Положение тела определяют при помощи трех углов (рис. 3.1.77). Для этого задаются две системы координат: неподвижная Оxyz и подвижная ОxhV, связанная с твердым телом. Линия ОJ – линия узлов, задаются углы: Y – угол прецессии, q – угол нутации, j – угол собственного вращения – углы Эйлера. Таким образом, уравнения сферического движения выглядят следующим образом: Y = f₁(t); q = f₂(t); j = f₃(t). Углы отсчитываются от осей против хода часовой стрелки.

Теорема Эйлера-Даламбера: всякое перемещение тела, имеющего неподвижную точку, можно заменить одним поворотом вокруг некоторой мгновенной оси вращения, проходящей через эту точку (рис. 3.1.78). Скорости всех точек тела, лежащих на мгновенной оси вращения в данный момент времени равны нулю.

Вектор угловой скорости (мгновенной угловой скорости) откладывается от неподвижной точки по мгновенной оси вращения 1 в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение происходящим против часовой стрелки. Вектор угловой скорости со временем изменяется не только по численной величине, но и по направлению. Конец вектора описывает годограф 2 скорости вектора  . Угловое ускорение определяется по формуле

.

Скорость конца вектора  , совпадает по направлению с касательной к годографу вектора угловой скорости. В случае сферического движения в отличие от случая вращения вокруг неподвижной оси вектор  не совпадает с направлением  .

Скорости точек при сферическом движении определяются по формуле

,

где  – радиус-вектор точки, проведенный из неподвижной точки.

Модуль скорости находится по формуле

v = wr×sina; v = w×h,

где h – расстояние от точки до мгновенной оси вращения.

Формула Эйлера:

.

Ускорения (рис. 3.1.79):

- полное ускорения:  ;

- вращательного ускорения:  .

Модуль вращательного ускорения: а^вр = e×r×sinb; а^вр = e×h₁, где h₁ – расстояние от точки до вектора  , направлено перпендикулярно плоскости, проходящей через точку М и вектор  ;

- осестремительного ускорения:  .

Модуль осестремительного ускорения:

а^ос= w²×h,

где h – направлено к оси вращения.

Движение свободного твердого тела (общий случай движения). Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. При рассмотрении движения свободного твердого тела, кроме неподвижной системы координат Oxyz, вводится подвижная система координатAx₁y₁z₁, которая связана с телом в точке А. Тогда движение свободного твердого тела представляет собой сложное движение, которое можно рассматривать как состоящее из поступательного движения вместе с полюсом (А) и сферическое движение вокруг полюса.

Уравнения движения свободного твердого тела:

x_A = f₁(t); y_A = f₂(t); z_A = f₃(t); Y = f₄(t); q = f₅(t); j = f₆(t).

Первые три уравнения определяют поступательную часть движения и зависят от выбора полюса, остальные три определяют сферическое движение вокруг полюса и от выбора полюса не зависят.

Скорость любой точки (М) свободного твердого тела равна геометрической сумме скорости полюса (А) и скорости этой точки в ее сферическом движении вокруг полюса (рис. 3.1.80):

.

Ускорение точки свободного твердого тела равно геометрической сумме ускорения полюса, осестремительного ускорения точки и ее вращательного ускорения, определенных относительно мгновенной оси и оси углового ускорения, проходящих через полюс:

.

Два последних члена дают ускорение точки в ее движении вокруг полюса.