19) Активные и реактивные силы. Идеальные связи. Основные случаи идеальных связей.

Активные и реактивные силы являются внешними силами ( нагрузками), вызывающими деформацию изгиба в балке. 

Принцип Даламбера формулируется так: активные и реактивные силы, действующие на материальную точку, вместе с силами инерции образуют систему взаимно уравновешенных сил, удовлетворяющую всем условиям равновесия. 

Как было сказано выше, внешними нагрузками балки являются активные и реактивные силы и моменты. 

Решая задачу первым способом, мы учитывали только фактически действующие на тело активные и реактивные силы и составили шесть всеобщих уравнений движения, связывающих проекции этих сил с массами и с проекциями ускорений частиц тела. 

Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений, причем изображать балку будем только одной линией - осью, к которой приложены активные и реактивные силы. 

Пусть все активные и реактивные силы и массы механизма приведены к одному из его звеньев. 

Расчеты с учетом инерционных нагрузок ведутся известным из теоретической механики методом кинетостатики, основанном на принципе Даламбера. Согласно этому принципу все активные и реактивные силы, приложенные к телу, вместе с силами инерции образуют систему взаимно уравновешенных сил, удовлетворяющую всем условиям равновесия. Таким образом, задачи динамики и сопромата решаются методами статики. 

Возможная работа - элементраная работа силы на возможном перемещении.

dA=Fdr - элементарная работа силы (F и r - векторы)

Для системы:

Если у какой-то связи   (R_K тоже вектор), то связь называется идеальной.

Если вся сумма  , то механическая система с идеальными связями.

Примеры идеальных связей: внутренние связи в абсолютно твердых телах; абсолютно гладкие поверхности; шарниры без трения; нерастяжимые нити; закрепленные точки; качение без скольжения.

Примеры идеальных связей:

1.  Наложенная на материальную точку связь в виде гладкой поверхности (неподвижной или деформирующейся с течением времени), по которой должна двигаться точка (здесь возможные перемещения лежат в касательной плоскости к данной поверхности, а реакция связи этой плоскости ортогональна, так что скалярное произведение равно нулю).

2.  Внутренние связи в абсолютно твёрдом теле, обеспечивающие постоянство расстояний между текущими положениями точек тела.

3.  Контакт двух абсолютно твёрдых тел, соприкасающихся при движении гладкими поверхностями.

4.  Контакт двух абсолютно твёрдых тел, соприкасающихся при движении абсолютно шероховатыми поверхностями.

20)Обобщенные координаты. Число степеней свободы.

Обобщённые координаты: незавиимые величины, задачами которых однозначно опр-ся положения всех точек механической системы. Могут быть линейными и угловыми(q=q(t)-линейная, p=p(t)- угловая. ) Количество обобщённых координат зависит от числа степеней свободы мех. системы.

r_k=r_n(q₁,q₂,q_ρ,t) ρ-число степ.свободы. dr_k=(ɓF_n/ɓq₁)*dq₁+(ɓr_k/ɓq₂)*dq₂+…..+(ɓr_k/ɓq_i)*dq_i+…+ +ɓr_k/ɓt*dt

21)Обобщенные силы и способы их вычисления.

dr_k/dt=V_k=∑ɓr_k/ɓq_i^|*q_i+ɓr_k/dt ( ɓr_k/dt=0) определяет скорость через время и обобщённую скорость.

V_k=dr_k/ɓq_i*q₁^|+….+ɓr_n/ ɓq_i*q_i^|+…+ɓr_k/ɓt

ɓV_k/ɓq_i^|=ɓr_k/ɓq_i (1 способ реш-ия. тождество Лагранджа)

V_k=∑ɓr_k/ɓq_i*q_i^|

dr_k=ɓr_k/ɓq₁*dq₁+ɓr_k/ɓq₂+…. (dr_k ~ ɓr_a)

ɓr_k= ɓr_k/ɓq_1*ɓq+….

(ɓr_k)_i=ɓr_k/ɓq_i*ɓq_i

Активные силы: ∑F_k(ɓr_k)_i=∑F_n(ɓr_k/ɓq_i)*ɓq_i

(∑ɓA_k)_i=∑F_n*ɓr_k/ɓq_i=Q_i (обобщ. Сила) (2 способ) Обобщ. Сила может иметьразмерность как силы так и момента.

Q_i*ɓQ_i=(∑ɓA_k)_i , Q_i=(∑ɓA_k)_i / ɓQ_i (3 cпособ)

22)Принцип возможных перемещений (в обычной форме). Применение принципа возможных перемещений для механизмов и для определения реакций связей статически определимых систем.

Принцип возможных (виртуальных) перемещений – один из основных принципов механики, выражающий общее условие равновесия механической системы. Этот принцип широко используется при статистических исследованиях материальных систем, причем действие наложенных на систему связей учитывается введением соответствующих реакций связей.

1. Применение принципа возможных перемещений (скоростей) для определения условий равновесия механизмов.

2. Применение принципа  возможных перемещений (скоростей) для определения реакций связей статически определимых систем.

3. Применение уравнений Лагранжа 2 рода для составления уравнений движения механических систем.

 

а)Система с одной степенью свободы

 

б)Система с двумя степенями свободы

23)Общее уравнение динамики (в обычной форме).

Общее уравнение механики представляет собой математическую формулировку принципа Д’Аламбера — Лагранжа, дающего общий метод решения задач динамики и статики и являющегося одним из основных принципов теоретической механики.(^[1] Стр.142) Этот принцип объединяет принцип возможных перемещений и принцип Д'Аламбера

24)Принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики для неголономных и голономных систем в обобщенных координатах.

По принципу Даламбера материальную систему, движущуюся под действием некоторых сил, можно рассматривать находящейся в равновесии, если ко всем точкам системы приложить их силы инерции. Значит можно воспользоваться и принципом возможных перемещений.

В уравнение работ (1) добавится еще сумма работ сил инерции точек на их возможных перемещениях:

.                          (3)

Или по принципу возможных скоростей (2):

                               (4)

Эти уравнения называют общим уравнением динамики. Оно позволяет решать большой класс задач на исследование движения довольно сложных материальных систем.

Уравнения (3) и (4) показывают, что в любой фиксированный момент времени сумма элементарных работ активных сил и сил инерции на любых виртуальных перемещениях равна нулю при условии, что на систему наложены идеальные и удерживающие связи.

Силы инерции точек и твердых тел, составляющих систему, определять уже умеем.

Стоит подчеркнуть еще одно важное достоинство этого метода, общего уравнения динамики, – реакции связей (идеальных) исключаются при исследовании движения системы.

Иногда это уравнение можно использовать для исследования движения механических систем и в тех случаях, когда не все связи являются идеальными, например, когда имеются связи с трением. Для этого следует к активным силам добавить те составляющие реакций, которые обусловлены наличием сил трения.

Рассмотрим процедуру использования уравнения (3) для составления дифференциальных уравнений движения систем с двумя степенями свободы:

1. Изобразить механическую систему в произвольный момент времени.

2. Показать на рисунке активные силы и моменты, а также силы и моменты, соответствующие неидеальным связям (например, силы трения).

3. Определить главные векторы и главные моменты сил инерции.

4. Выбрать обобщенные координаты в числе, равном числу степеней свободы системы.

5. Дать виртуальное перемещение, соответствующее одной из степеней свободы системы, считая при этом виртуальные перемещения, соответствующие остальным степеням свободы, равными нулю.

6. Вычислить сумму элементарных работ всех сил и моментов (см. п. 2 и 3) на соответствующих виртуальных перемещениях и приравнять эту сумму нулю.

7. Повторить п. 4 - 6 для каждого независимого движения системы.

При применении общего уравнения динамики к системам с двумя и большим числом степеней свободы, в связи с громоздкостью выкладок, можно использовать следующие рекомендации:

1. Сделать предположение о направлении ускорений точек системы.

2. Направить на рисунке силы инерции в стороны, противоположные выбранным направлениям соответствующих ускорений.

3. Определить знаки элементарных работ сил инерции в соответствии с их направлениями на рисунке и избранными направлениями виртуальных перемещений точек системы.

4. Если искомые ускорения оказываются положительными, то сделанные предположения о направлениях ускорений подтверждаются, если отрицательными, то соответствующие ускорения направлены в другую сторону.

 

Пример 3.  Определим ускорение груза G (рис.6). Вес цилиндра – Р, радиус – r. Цилиндр катится по плоскости без скольжения.

Рис.6

 

Решение. Показываем задаваемые силы –  . Добавляем силы инерции. Сила инерции груза, движущегося поступательно,

.

Цилиндр совершает плоскопараллельное движение. Главный вектор сил инерции точек его

Главный  момент  сил  инерции относительно  центральной  оси  С:

Даем системе возможное перемещение, сдвинув груз вниз на малую величину  . Центр цилиндра сместится вправо на величину  , а весь цилиндр  повернется  вокруг  мгновенного  центра скоростей    на  угол       

Вычисляем работу сил на этих перемещениях и составляем уравнение работ, общее уравнение динамики,

Так как  , то, подставив значения сил инерции, получим уравнение

из которого находим

 

Обобщенные координаты

Обобщенными координатами мы будем называть параметры, которые определяют положение материальной системы.

Это могут быть обычные декартовы координаты точек, углы поворота, расстояния, площади, объемы и т.д.

Так на рис.7 положение балочки АВ и всех ее точек вполне определяется углом  .

Рис.7

 

Положение точек кривошипно-шатунного механизма (рис.8) можно определить заданием угла поворота   кривошипа или расстоянием s, определяющим  положение ползуна В (при  ).

Рис.8

 

Положение сферического маятника (рис.9) определяется заданием двух параметров, углов   и  .

Рис.9

 

Минимальное количество независимых друг от друга обобщенных  координат,  которых достаточно,  чтобы  полностью  и  однозначно определить  положение  всех  точек системы,  называют числом степеней свободы этой   системы.

Вообще для любой материальной системы можно назначить несколько обобщенных   координат.  Например, у кривошипно-шатунного механизма (рис.8) указаны две обобщенные координаты   и s. Но это не значит, что у механизма  две степени свободы,  так как одну  координату можно определить через другую: 

.

А вот у маятника (рис.71) две степени свободы, т.к. определяется его положение двумя независимыми обобщенными координатами. Кстати, если длина маятника изменяется, то для определения положения точки М потребуется еще один параметр – обобщенная координата  l , длина нити. И у маятника станут три степени свободы.

Обобщенные  координаты  в  общем случае  будем  обозначать  буквой q.

Пусть материальная система имеет s степеней свободы. Положение ее определяется обобщенными координатами: q₁, q₂, q₃,…, q_k,…, q_s. .

Нетрудно убедиться, что декартовы координаты n точек системы можно определить как функции обобщенных координат и времени:

 

 

Так у маятника (рис.9) координаты точки М

 

есть функции координат  l,   и  , и времени t, если  l = l(t).

Соответственно, и радиус-вектор точек системы можно определить как функцию обобщенных координат и времени:

                       (6)