3)Кинетическая энергия механической системы Кинетической энергией механической системы называется сумма кинетических энергий всех точек этой системы:

T = ∑ m_kv_k² / 2 ,

где m_k и v_k - масса и скорость k-й материальной точки, принадлежащей данной системе.4)  Изменение  кинетической энергии механической системы на некотором   ее  перемещении равно  сумме  работ  внешних  и внутренних  сил, приложенных   к   точкам  системы, на том  же  перемещении.

самые два последние выражения!!!!!

9. ответ 7 (3)

10) Кинетической энергией системы называется скалярная величина т, равная арифметиче­ской сумме кинетических энергий всех точек системы

Кинетическая энергия является характеристикой и поступатель­ного и вращательного движения системы, поэтому теоремой об изме­нении кинетической энергии особенно часто пользуются при решении задач.

Если система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия равна, очевидно, сумме кинетических энергий этих тел:

Кинетическая энергия – скалярная и всегда положительная величина.

Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тела в разных случаях движения.

1. Поступательное движение. В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости дви­жения центра масс. То есть, для любой точки V_i=V_C

или

Таким образом, кинетическая энергия тела при поступатель­ном движении равна половине произведения массы тела на квад­рат скорости центра масс. От направления движения значение Т не зависит.

2. Вращательное движение. Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси Оz (см. рис.1), то скорость любой его точки   где  - расстояние точки от оси вращения, а  - угло­вая скорость тела. Подставляя это значение и вынося общие множители за скобку, получим:

Величина, стоящая в скобке, представляет собою момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, окончательно найдем:

т.е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости. От направления вращения значение Т не зависит.

Рис.1

 

При вращении тела вокруг неподвижной точки кинетическая энергия определяется как (рис.2)

или, окончательно,

где   – моменты инерции тела относительно главных осей инерции x₁, y₁, z₁  в неподвижной точке О;    – проекции вектора мгновенной угловой скорости   на эти оси.

Рис.2

 

3. Плоскопараллельное движение. При этом движе­нии скорости всех точек тела в каждый момент времени распреде­лены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через мгновенный центр ско­ростей Р (рис.1). Следовательно

где  - момент инерции тела относительно названной выше оси,  - угловая скорость тела. Величина   в формуле будет перемен­ной, так как положение центра Р при движе­нии тела все время меняется. Введем вместо   постоянный момент инерции , относительно оси, проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса-Штейнера   , где d=PC. Подставим это выражение для . Учитывая, что точка Р - мгновенный центр скоростей, и, следовательно,  , где  - скорость центра масс С, окончательно найдем:

Следовательно, при плоскопараллельном движении кинетиче­ская энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сло­женной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс.

4) Для самого общего случая движения материальной системы кинетическую энергию помогает вычислить теорема Кенига.

Рассмотрим движение материальной системы как сумму двух движений (рис.3). Переносного – поступательного движения вместе с центром масс С и относительного – движения относительно поступательно движущихся вместе с центром масс осей x₁, y₁, z_1. Тогда скорость точек  . Но переносное движение – поступательное. Поэтому переносные скорости всех точек равны, равны  . Значит,   и кинетическая энергия будет

Рис.3

 

По определению центра масс его радиус-вектор в подвижной системе    (центр масс находится в начале координат), значит, и  . Производная по времени от этой суммы также равна нулю:

Поэтому, окончательно, кинетическая энергия системы

Кинетическая энергия материальной системы равна сумме кинетической энергии при поступательном движении вместе с центром масс и кинетической энергии ее при движении относительно координатных осей, поступательно движущихся вместе с центром масс.

В общем случае движения тела, которое можно рассматривать как сумму двух движений (переносного – поступательного вместе с центром масс С и относительного – вращения вокруг точки С), по теореме Кенига (1) получим

где I_x, I_y, I_z – главные центральные оси инерции тела.

11) Теоре́ма Кёнига позволяет выразить полную кинетическую энергию механической системы через энергию движения центра масс и энергию движения относительно центра массКинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

где   — полная кинетическая энергия системы,   — кинетическая энергия движения центра масс,   — относительная кинетическая энергия системы^[2].

12) 1) Потенциальная энергия   — скалярная физическая величина, представляющая собой часть полной механической энергии системы, находящейся в полеконсервативных сил. Зависит от положения материальных точек, составляющих систему, и характеризует работу, совершаемую полем при их перемещении^[1]. Потенциальная энергия тела   в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:

где   — масса тела,   — ускорение свободного падения,   — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем. 2) В физике консервати́вные си́лы (потенциальные силы) — это силы, работа которых не зависит от вида траектории, точки приложения этих сил и закона их движения, и определяется только начальным и конечным положением этой точки^[1]. Равносильным определением является и следующее: консервативные силы — это такие силы, работа которых по любой замкнутой траектории равна 0.

 — работа консервативных сил по произвольному замкнутому контуру равна 0;

2)

Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2.

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.

13. а) Если сила F постоянна во времени и ее направление совпадает с направлением перемещения тела, то работа Wнаходится по формуле.

4.

W= F·s

Здесь: W — совершенная работа (Джоуль), F — постоянная сила, совпадающая по направлению с перемещенем (Ньютон), s — перемещение тела (метр)

б) А тяж ( работа силы тяжести) = mg(h2 - h1)

в) А упр = k умножить на дельта (треугольничек) l1 в квадрате и разделить на два минус k*дельта l2в квадрате разделить на два в квадрат возводить только l1и l2

14. 1) Работа внешних сил равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил:

.

15. 1) Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела:   и т.д.  – проекция внешней силы. Все точки тела движутся так же, как и его центр масс С. Для осуществления поступательного движения необходимо, чтобы главный момент всех внешних сил относительно центра масс был равен 0:  =0.

Дифференциальные уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:  ,

J_z – момент инерции тела относительно оси вращения z,  – момент внешних сил относительно оси вращения (вращающий момент).  _, e – угловое ускорение, чем больше момент инерции при данном  _, тем меньше ускорение, т.е момент инерции при вращательном движении является аналогом массы при поступательном. Зная  _, можно найти закон вращения тела j=f(t), и, наоборот, зная j=f(t), можно найти момент. Частные случаи: 1) если  = 0, то w = const – тело вращается равномерно; 2)  = const, то e = const – вращение равнопеременное. Уравнение аналогичное дифференциальному уравнению прямолинейного движения точки  .

2) J_z ⋅ dω/dt = M_вращ,

или

                                             J_z ⋅d²φ/dt² =M_вращ.                  ( 3.13)

Уравнение (3.13) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

3)

, ,

(3)

где  - масса тела;   и  -проекции ускорения центра масс на координатные оси.

Уравнения (3) представляют собой дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела

16.