§ 2. Равновесие произвольной системы сил.

 

Примем без доказательства следующее утверждение.

Теорема. Необходимым и достаточным условием равновесия системы сил, приложенных к свободному твёрдому телу, является равенство нулю главного вектора и главного момента системы сил относительно какой–либо точки:

  . (7.2)

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат: два векторных уравнения будут эквивалентны 6 скалярным.

Получим выражения для момента силы относительно координатных осей:

Тогда

Таким образом, в развернутом виде уравнения равновесия имеют вид:

Рассмотрим отдельные случаи, когда число независимых уравнений равновесия меньше шести.

Определение. Система сил называется сходящейся (пучком прямых), если линии действия сил пересекаются в одной точке, которая называется точкой схода или центром пучка.

В этом случае начало отсчета можно переместить в точку схода, тогда  , а значит, уравнения 4,5,6 становятся тождествами. Следовательно, для сходящейся системы достаточно записать три уравнения равновесия:   (7.3)

Определение. Если все силы системы лежат в одной плоскости, то система сил называется плоской.

В случае плоской сходящейся системы сил уравнений равновесия будет только два.

7.Понятие о паре сил. Характеристики пары. Задание пары. Момент пары сил как вектор.

Парой сил называются две равные и параллельные силы, не лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны. Пара сил имеет важное значение в практике. Так, водитель автомобиля, передавая руками усилия на рулевое колесо, использует пару сил.

Сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю (рис. 1), т.е. пара сил не имеет равнодействующей. Однако, несмотря на это, под действием пары сил тело не находится в равновесии.

Рис. 1.

 

Пара сил, действуя на тело, стремится вращать его, что определяется моментом пары (моментом силы). Понятие момента пары ввел в механику итальянский ученый и художник эпохи Возрождения Леонардо да Винчи. Моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на ее плечо, т.е.

Точка, относительно которой берется момент, называется центром момента. Плечом силы относительно точки называется кратчайшее расстояние от центра момента до линии действия силы. Единица измерения момента силы:

Эффект действия пары сил определяется ее моментом, поэтому пару сил принято изображать дугой (или другим знаком, обозначающим вращение), указывающей направление вращения.

Момент силы принято считать положительным, если сила стремится повернуть тело по ходу часовой стрелки (рис. 8, а), и отрицательным, если сила стремится вращать тело против хода часовой стрелки (рис. 8, б). Однако принятое правило знаков условно. Можно принять и противоположное правило. Одна и та же сила относительно разных точек может давать и положительный, и отрицательный момент. Момент силы относительно точки, лежащей на линии действия этой силы, равен нулю.

Эквивалентность пар. По аналогии с определением эквивалентных систем сил две пары сил считаются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая механического состояния свободного твердого тела.

Эффект действия пары сил на твердое тело не зависит от ее положения в плоскости. Таким образом, пару сил можно переносить в плоскости ее действия в любое положение.

Основой для сложения пары сил является следующее ее свойство: не нарушая механического состояния тела, можно менять силы и плечо пары, но так, чтобы ее момент оставался неизменным.

Сложение пар. Подобно силам пары сил можно складывать. Пара, заменяющая собой действие заданных пар, называется результирующей.

 

Сложим две пары, расположенные в одной плоскости. Имеем пары

с плечами а и b (рис. 2), т.е.

 

Рис. 2

Преобразуем данные пары так, чтобы их плечи были равны при сохранении величин их моментов. Примем за общее плечо преобразованных пар отрезок АВ = с и обозначим

силы эквивалентных пар. Тогда

 

 

Складывая силы, приложенные в точках А и В, найдем их равнодействующие:

Равнодействующие R и R', равные по величине и направленные в разные стороны, образуют пару сил , момент которой будет:

Пара  представляет собой результирующую пару. Подставив в уравнение момента М значение равнодействующей R , получим

а так как

Таким образом, момент результирующей пары сил равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

При произвольном количестве моментов имеем

На основании правила сложения пар устанавливается условие равновесия системы пар, лежащих в одной плоскости: для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов данных пар равнялась нулю, т.е.

Свойства пар сил определяются рядом теорем, которые приводятся без доказательств:

· Две пары эквивалентны, если их векторные моменты равны по величине и одинаково направлены.

· Действие пары на тело не изменится, если ее перенести в плоскости действия на любое место.

· Действие пары на тело не изменится, если ее перенести из плоскости действия в параллельную ей плоскость.

· Действие пары на тело не изменится, если увеличить (уменьшить) величину силы пары, одновременно уменьшая (увеличивая) во столько же раз плечо пары.

Вывод: векторный момент пары сил, действующей на твердое тело, есть свободный вектор, т. е. его можно приложить в любой точке твердого тела.

Рассмотрим сложение пар, произвольно расположенных в пространстве. Докажем теорему:

Система пар, произвольно расположенных в пространстве, эквивалентна одной паре с моментом, равным геометрической сумме моментов слагаемых пар.

Возьмем две пары ( ) и ( ), расположенные на пересекающихся под произвольным углом плоскостях. Плечи пар примем равными соответственно  и . На линии пересечения плоскостей отметим произвольный отрезок АВ и приведем каждую из слагаемых пар к плечу АВ. Произведя сложение соответствующих сил (см. рис.)  с  и  с , получим новую пару ( ), момент которой будет равен

Рис.2.18 Равнодействующая пар сил

Систему пар сил, действующих на тело, можно, в соответствии с только что доказанной теоремой, заменить одной парой, равной сумме векторов моментов слагаемых пар. Следовательно, равновесие системы пар возможно только при выполнении условия

Проецируя приведенное векторное условие равновесия пар на любые три оси, не лежащие в одной плоскости и не параллельные друг другу, получим скалярные уравнения равновесия системы пар

Рис.37

1. Изображение момента вектором. Момент силы  относительно центра О (см. рис. 37) как характеристика ее враща­тельного эффекта определяется следую­щими тремя элементами:

1) модулем мо­мента, равным произведению модуля силы на плечо, т. е.  ; 2) плоскостью поворота ОАВ, проходящей через линию действия силы  и центр О; 3) напра­влением поворота в этой плоскости. Когда все силы и центр О лежат в одной пло­скости, необходимость задавать каждый раз плоскость поворота ОАВ отпадает, и момент можно определять как скаляр­ную алгебраическую величину, равную  , где знак указывает направление поворота.

Но в случае сил, произвольно расположенных в пространстве, плоскости поворота у разных сил будут разными и должны задаваться дополнительно. Положение плоскости в пространстве можно задать, задав отрезок (вектор), перпендикулярный к этой плоскости. Если одновременно модуль этого вектора выбрать равным модулю момента силы и условиться направлять этот вектор так, чтобы его направление определяло направление поворота силы, то такой вектор полностью определит все три элемента, характеризующие момент данной силы относительно центра О.

Поэтому в общем случае момент  ) силы  относительно центра О (рис. 37) будем изображать приложенным в центре О вектором  , равным по модулю (в выбранном масштабе) произ­ведению модуля силы  на плечо h и перпендикулярным к пло­скости ОАВ, проходящей через центр О и силу  . Направлять вектор  будем в ту сторону, откуда поворот, совершаемый силой, виден происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, вектор  будет одновременно характеризовать модуль момента, плоскость поворота ОАВ, разную для разных сил, и направление поворота в этой плоскости. Точка приложения вектора  определяет положение центра момента.

2. Выражение момента силы с помощью вектор­ного произведения. Рассмотрим векторное произведение  x  векторов  и  (рис. 37). По определению,  ,

так как модуль вектора  тоже равен 2 пл.  . Направлен вектор ( x  ) перпендикулярно к плоскости ОАВ, в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение  с  (если их отложить от одной точки) видно против хода часовой стрелки, т. е., так же, как век­тор  . Следовательно, векторы ( x  ) и  совпадают и по модулю и по направлению и, как легко проверить, по размерности, т. е. оба эти вектора изображают одну и ту же величину. Отсюда

 

 или  ,

где вектор  =  называется радиусом-вектором точки А относи­тельно центра О.

Таким образом, момент силы  относительно центра О равен векторному произведению радиуса вектора  , соединяющего центр О с точкой приложения силы А, на саму силу. Этим вы­ражением момента силы бывает удобно пользоваться при доказатель­стве некоторых теорем.

 

Действие пары сил на тело характеризуется: 1) величиной модуля момента пары, 2) плоскостью действия, 3) направлением поворота в этой плоскости. При рассмот­рении пар, не лежащих в одной плоскости, для характеристики каж­дой из пар необходимо бу­дет задать все эти три эле­мента. Это можно сделать, если условиться, по аналогии с моментом силы, изображать момент пары соответствую­щим образом, построенным вектором, а именно: будем изображать момент пары вектором т илиМ, мо­дуль которого равен (в выбранном масштабе) модулю момента пары, т.е. произведению одной из ее сил на плечо, и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сто­рону, откуда поворот пары виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 38).