§ 2. Аксиомы статики твердого тела

 

В основе статики твердого тела лежат аксиомы, установленные из опытов и наблюдений. Всё содержание статики может быть получено дедуктивно (т.е. посредством логических умозаключений с использованием соответствующего математического аппарата) как следствие этих аксиом.

 Аксиома 1 (о равновесии двух сил). Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, уравновешиваются тогда и только тог­да, когда они равны по ве­личине, противонаправлены и имеют общую линию действия (рис. 1.4).

 Аксиома 2 (о присоединении и исключении уравновешенных сил). Дейст­вие данной системы сил на твердое тело не изменяет­ся, если к ней присоеди­нить или исключить из нее уравновешен­ную систему.

 Из аксиом 1 и 2 логически получаем следствие: не изменяя действия силы на твердое тело, можно переносить точку приложе­ния силы вдоль линии дейст­вия.Иногда этот факт выражают сло­вами: сила, приложенная к абсо­лютно твердому телу, есть вектор скользящий. В самом деле (рис. 1.5), п усть на твердое тело дей­ствует сила   , приложенная в точке   . Приложим в произ­вольной точке   , лежащей на линии дейст­вия силы   , две уравновешенные силы     и   , причем   ,   . Согласно аксиоме 2 полученная система из трех сил эквивалентна силе   . Но силы   и   согласно аксиоме 1 уравновешива­ют­ся и их можно отбросить, сле­дова­тельно, сила   эквивалент­на системе   , а потому и данной силе   .

 При формулировании этой аксиомы полагают, что сила при переносе точки ее приложения работы не совершает.

  Аксиома 3 (закон параллелограмма). Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке тела под углом друг к другу, выражается по величине и по направлению диагональю параллелограмма, построен­ного на заданных силах (рис.1.6):

 

 .

 

 Величину равнодействующей силы можно определить по теореме косинусов

 

 

или по теореме синусов

 

 .

 

 Аксиома 4 (о действии и противодей­ствии). Два тела дейст­вуют друг на друга с силами, равными по величине и направлен­ными по одной прямой в противопо­ложные стороны (рис. 1.7).

 Заметим, что эти силы приложены к разным телам.

 Аксиома 5 (аксиома отвердевания). Равновесие нетвердого тела не нару­шится, если при тех же действующих на него силах оно затвердеет и станет абсолютно твердым.

 На основании этой аксиомы результа­ты, полученные в статике абсолютно твердого тела, можно применять к дефор­мируемым телам.

 Утверждение, обратное аксиоме 5, неверно (если тело пе­рестает быть твер­дым, то его равновесие может нарушиться).

 Аксиома 6 (аксиома освобождаемости от связей). Не изменяя состояния несвободного тела, можно отбросить наложенные на него связи, приложив их реакции, после чего рассматривать тело как свободное.

2. Момент силы относительно точки . Разложения момента силы по осям декартовой системы координат

Моментом силы относительно точки .называется векторное произведение радиус-вектора  точки  приложения силы на вектор силы. 

                                                M_o(F) = r ⊗ F

Рисунок 1.1

Вектор момента направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и точка, в ту сторону, откуда поворот от действия силы виден происходящим против хода часовой стрелки.

Вектор момента характеризует положение плоскости и направление вращательного действия силы, а также дает меру этого действия:

 |M_o(F)| = F⋅r⋅sinα = F⋅h,

где  h – плечо силы (кратчайшее расстояние от точки  O – центра момента – до линии действия силы). Если сила проходит через точку, то ее момент относительно этой точки равен нулю.

Момент силы относительно точки не меняется от переноса силы вдоль линии ее действия.

Если силы расположены в одной плоскости, то используется понятие алгебраического момента силы. Алгебраическим моментом силы относительно точки (или центра) называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы на плечо (рисунок 1.2). 

Знак плюс выбирается в том случае, если сила стремится поворачивать плоскость относительно центра момента против хода часовой стрелки.

 

Рисунок 1.2

Если сила F  задана своими проекциями F_x, Fy, F_z  на оси координат и даны координаты x, y, z  точки приложения этой силы, то момент силы относительно начала координат вычисляется следующим образом:

Проекции момента силы   на оси координат равны

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА-МОМЕНТА СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ ПО ОСЯМ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ. Момент силы   (X, У, Z), проходящей через точку М (х, у, z), относительно точки А (а, b, с) (рис. 1):

Рисунок 1.

(1)

Проекции вектора   на оси декартовых координат (или моменты силы   относительно осей х₁, у₁, z₁, проходящих через точку А):

(2)

Момент силы   относительно начала координат О:

(3)

Моменты силы относительно осей декартовых координат х, у, z:

(4)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ   по его проекциям L₁, М₁, N₁:

модуль

Направляющие косинусы:

(5)

Определение линии действия силы по ее проекциям (X, У, Z) и координатам точки М (х, у, z) на ее линии действия:

(6)

В случае расположения силы   и точки М в плоскости хOу уравнение линии действия:

(6a)

Отрезки, отсекаемые линией действия силы, лежащей в плоскости хOу на осях координат:

(6б)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНИИ ДЕЙСТВИЯ СИЛЫ Р по ее проекциям (X, Y, Z) и моменту   (L, M, N) относительно начала координат:

(7)

где x, у, z - координаты точки на линии действия силы. В случае расположения силы в плоскости хOу

(7a)

Отрезки, отсекаемые линией действия силы на осях координат:

(7б)

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА-МОМЕНТА ПАРЫ   по осям декартовых координат. В декартовой системе координат имеет место разложение: