8. Задание.

Используя градиентный метод или метод наискорейшего спуска, реализовав их в виде программ на Turbo Pascal, найти минимум следующих функций:

1) f(X)=x₁²+ x₂² +x₃²+ x₁–x₁ *x₂-2x₃

2) f(X)=100( x₂ –x₁²) ²+ (1-x₁)²

3) f(X)=( x₂ –x₁²) ²+ (1-x_1*x₂)²

4) f(X)=5x₁²+ x₂² + 4x₁ *x₂-16x₁-12x₂

5) f(X= х₁² + 4х₂² –4х₁ –8х₂ + 5

Лабораторная работа №3

Численные методы нахождения экстремума функции многих переменных с ограничениями в форме равенств и неравенств( метод штрафных функций, метод барьерных функций).

Цель работы: знакомство с задачей условной минимизации функции многих переменных, т.е. с методами, где на функцию накладываются ограничениями в форме равенств и неравенств. К ним относятся метод штрафных функций, метод барьерных функций.

Введение. Данная задача формулируется как задача условной оптимизации, сутью которой является поиск минимума функции многих переменных при существующих ограничениях в форме равенств и неравенств. Основная идея: свести исходную задачу к задаче безусловной минимизации расширенной функции , которая учитывает наложенные ограничения. В зависимости от выбора начальной точки и вида ограничений применяют тот или иной метод.

1. Постановка задачи.

Дана функция y=f(X), на которую накладываются ограничениями в форме равенств и неравенств.( ) . Требуется найти минимум функции, используя метод штрафных функций или метод барьерных функций.

2. Метод штрафных функций при существующих ограничениях в форме равенств и неравенств.

Этот метод применяется для решения задач условной оптимизации с ограничениями в форме равенств и неравенств, то есть ищется

Сведем исходную задачу к задаче безусловной минимизации функции

, где функция штрафа

выбирается вне допустимой области R, поэтому рассматриваемый метод называют методом внешней точки.

Существенным в данном методе является то, что начальный коэффициент штрафа задается небольшим, чтобы уменьшить «овражистость» расширенной функции . Затем возрастает с каждой итерацией при .

Минимизации функции происходит на основе любого метода безусловной минимизации( прямые методы, градиентные методы). Примем за основу градиентный метод.

3. Алгоритм метода штрафных функций.

1. Введем , к=0.

2. Запомним := и вычислим и его норму.

3. Пока норма > , найти в соответствии с градиентным методом.

4. Вычислить и увеличить .

5. Если , закончить вычисления, иначе возврат на пункт 2.

4. Текст программы.

Смотри приложение №3.

5. Метод барьерных функций.

Этот метод применяется для решения задач условной оптимизации с ограничениями типа неравенств, то есть

Сведем исходную задачу к задаче безусловной минимизации функции .

Присоединенная функция выбирается таким образом, чтобы она неограниченно возрастала при приближении точки X к границе области R.

.

Существенным в данном методе является то, что начальный коэффициент штрафа задается большим. Начальная точка задается только внутри области R, поэтому этот метод называется методом внутренней точки. Коэффициент уменьшается с каждой итерацией . При этом

Минимизации функции происходит на основе любого метода безусловной минимизации( прямые методы, градиентные методы). Примем за основу градиентный метод