ВОПРОС 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ДИФФИРИНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ РАЗРЕШЕННОГО ОТНОСИТЕЛЬНО СТАРШЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут содержаться дифференциалы.
Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными. Здесь рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения.
Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией таков:
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.
Примеры.
Уравнение
есть
дифференциальное уравнение первого
порядка; дифференциальное уравнение
— второго порядка, уравнение
— первого порядка.
Функция
называется решением дифференциального
уравнения, если последнее обращается
в тождество после подстановки
Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данного дифференциального уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс нахождения всех решений — интегрированием дифференциального уравнения.
Вообще интегралом данного дифференциального уравнения называют всякое уравнение, не содержащее производных, из которого данное дифференциальное уравнение вытекает как следствие.
Пример
1
. Функция
есть решение (интеграл) дифференциального
уравнения второго порядка
(2) так как после подстановки
равенство (2) принимает вид
(3), т. е. становится тождеством.
Функции
у
—
тоже решения уравнения (2), функция
- не является его решением.
Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения задачи Коши:
Пусть функция f(x, y) и ее частная производная fy(x, y) непрерывны в некоторой области D плоскости x0y и точка (x0, y0) принадлежит области D.
Тогда:
в некоторой окрестности (x0 − δ, x0 + δ)
точки x0 существует решение задачи Коши
- если y = φ1(x) и y = φ2(x) два решения задачи
Коши, то φ1(x) = φ2(x) на (x0 − δ, x0 + δ).
Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку (x0, y0) области D проходит единственная интегральная кривая уравнения.
Бесконечное
множество решений уравнения
можно
рассматривать как однопараметрическое
семейство функций y = φ(x; x0) — семейство
решений задачи Коши
элементы
которого различны для разных значений
x0 . Иными словами область D "расслаивается"
на интегральные кривые y = φ(x; x0) .
Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер — существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности точки x0 . Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо что оно не единственно.
Вопрос 2. Уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное
уравнение первого порядка y' = f(x,y)
называется уравнением с разделяющимися
переменными, если функцию f(x,y) можно
представить в виде произведения двух
функций, зависящих только от x и y:
где p(x) и h(y) − непрерывные функции.
Рассматривая
производную y' как отношение дифференциалов
перенесем dx в правую часть и разделим
уравнение на h(y):
Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠
0. Если найдется число x0, при котором
h(x0) = 0, то это число будет также являться
решением дифференциального уравнения.
Деление на h(y) приводит к потере указанного
решения.
Обозначив
, запишем уравнение в форме:
Теперь переменные разделены и мы можем
проинтегрировать дифференциальное
уравнение:
где C − постоянная интегрирования.
Вычисляя
интегралы, получаем выражение
описывающее общее решение уравнения
с разделяющимися переменными.
Пример 1
Решить
дифференциальное уравнение
.
Решение.
В
данном случае p(x) = 1 и h(y) = y(y +2). Разделим
уравнение на h(y) и перенесем dx в правую
часть:
Заметим, что при делении мы могли
потерять решения y = 0 и y = −2 в случае
когда h(y) равно нулю. Действительно,
убедимся, что y = 0 является решением
данного дифференциального уравнения.
Пусть
Подставляя это в уравнение, получаем:
0 = 0. Следовательно, y = 0 будет являться
одним из решений. Аналогично можно
проверить, что y = −2 также является
решением уравнения.
Вернемся
обратно к дифференциальному уравнению
и проинтегрируем его:
Интеграл в левой части можно вычислить
методом неопределенных коэффициентов:
Таким образом, мы получаем следующее
разложение рациональной дроби в
подынтегральном выражении:
Следовательно,
Переименуем константу: 2C = C1. В итоге,
окончательное решение уравнения
записывается в виде:
Общее решение здесь выражено в неявном
виде. В данном примере мы можем
преобразовать его и получить ответ в
явной форме в виде функции y = f(x,C1), где
C1 − некоторая константа. Однако это
можно сделать не для всех дифференциальных
уравнений.
Вопрос 3.Однородные дифференциальные уравнения.
Дифференциальное
уравнение первого порядка
называется однородным, если правая
часть удовлетворяет соотношению
для всех значений t. Другими словами,
правая часть должна являться однородной
функцией нулевого порядка по отношению
к переменным x и y:
Однородное дифференциальное уравнение
можно также записать в виде
или через дифференциалы:
где P(x,y) и Q(x,y) − однородные функции
одинакового порядка.
Определение однородной функции
Функция
P(x,y) называется однородной функцией
порядка n, если для всех t > 0 справедливо
следующее соотношение:
Решение однородных дифференциальных уравнений
Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки y = ux, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными.
Дифференциальное
уравнение вида
преобразуется в уравнение с разделяющимися
переменными посредством переноса
начала системы координат в точку
пересечения прямых линий, заданных в
уравнении. Если указанные прямые
параллельны, то дифференциальное
уравнение сводится к уравнению с
разделяющимися переменными путем
замены переменной:
.
Уравнение Бернулли
Уравнение
Бернулли является одним из наиболее
известных нелинейных дифференциальных
уравнений первого порядка. Оно
записывается в виде
где a(x) и b(x) − непрерывные функции.
Если m = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когда m = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.
В
общем случае, когда m ≠ 0, 1, уравнение
Бернулли сводится к линейному
дифференциальному уравнению с помощью
подстановки
Новое дифференциальное уравнение для
функции z(x) имеет вид
и может быть решено способами, описанными
на странице Линейные дифференциальные
уравнения первого порядка.
Пример 1
Найти общее решение уравнения y' − y = y2ex.
Решение.
Для
заданного уравнения Бернулли m = 2,
поэтому сделаем подстановку. Дифференцируя
обе части уравнения (переменная y при
этом рассматривается как сложная
функция x), можно записать:
Разделим обе части исходного
дифференциального уравнения на y2:
Подставляя z и z', находим:
Мы получили линейное уравнение для
функции z(x). Решим его с помощью
интегрирующего множителя:
Общее решение линейного уравнения
выражается формулой
Возвращаясь
к функции y(x), получаем ответ в неявной
форме:
который можно записать также в виде:
Заметим, что при делении уравнения на
y2 мы потеряли решение y = 0. В результате,
полный ответ записывается в виде:
.