Вопрос 27

При повороте центральных осей и приближении их к главным центральным осям, больший изсобственных осевых моментов инерции становится еще больше, стремясь максимальному значению ( ), а меньший – меньше, приближаясь к минимальному значению ( ).

Главные центральные моменты инерции - моменты инерции фигуры относительно главных центральных осей  и  . Формулы главных центральных моментов инерции, вытекающих из формул моментов инерции при повороте осей координат:

Если в частном случае  , то осевые моменты инерции при повороте координатных осей вообще не изменяются, и тогда любые две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения, являются главными центральными осями.

Вопрос 28

КРИТИЧЕСКАЯ СИЛА

эйлерова сила, - наибольшее значение сжимающей силы, при к-ройсжатое упругое тело (длинный стержень, тонкая пластина и т. п.) сохраняет нач. (неизогнутую) формуравновесия. При небольшом превышении К. с, возникают значит. деформации тела, к-рое переходит к др. (изогнутым) формам упругого равновесия.

Критическое напряжение

 

— отношение критической силы Рк, при к-рой нарушается устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня, к площади поперечного сечения стержня. Обозначается символом ак. Для сжатого стержня с шарнирно опертыми концами критическое напряжение определяется по формуле Эйлера. Величина критического напряжения зависит от условий заделки концов стержня: для стержня с обоими защемленными концами оно будет в 4 раза больше, а для стержня с одним защемленным и другим свободным концом — в 4 раза меньше, чем для стержня с шарнирно опертыми концами. По формуле Эйлера можно определять критическое напряжение, если оно не превышает предела пропорциональности материала, т. е. для относительно больших значений X. К. н. при нарушении прочности коротких сжатых стержней (А,<30—40) примерно равно пределу текучести на сжатие.

Гибкость стержня — отношение расчетной длины стержня   к наименьшему радиусу инерции   его поперечного сечения.

Это выражение играет важную роль при проверке сжатых стержней на устойчивость. В частности, от гибкости зависит коэффициент продольного изгиба  . Стержень с большей гибкостью, при прочих неизменных параметрах, имеет более низкую прочность на сжатие и сжатие с изгибом.

Расчетная длина   вычисляется по формуле:

, где

 — коэффициент, зависящий от условий закрепления стержня, а   — геометрическая длина. Расчётная длина также называется приведённой или свободной.

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связывает комплекснуюэкспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного и комплексного числа   выполнено следующее равенство:

,

где   — одна из важнейших математических констант, определяющаяся следующей формулой:  ,

 — мнимая единица.