28. Прямая угловая засечка
Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы β1 и β2 измеряются на двух пунктах с известными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис.2.6).
Рис.2.6
Исходные данные: XA, YA, αAC, XB, YB, αBD
Измеряемые элементы: β 1 , β2
Неизвестные элементы: X , Y
Если αAC и αBD не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D .
Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол β1 и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол β2 и провести прямую линию BP ; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.
Аналитическое решение. Приведем алгоритм варианта, соответствующий общему случаю засечки:
1.
вычислить дирекционные углы линий AP и
BP
(2.14)
,
(2.15)
2.
написать два уравнения прямых линий
для линии AP Y – YA= tgα1 * ( X – XA ),
для
линии BP Y
– YB= tgα2
* ( X – XB )
(2.16)
3.
решить
систему двух уравнений и вычислить
неизвестные координаты X и Y:
(2.17)
,
(2.18)
Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы β1 и β2 измерены от направлений AB и BA, причем угол β1 – правый, а угол β2 – левый (в общем случае засечки оба угла – левые) – рис.2.7.
Рис.2.7
Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответствует частному случаю засечки. Порядок решения при этом будет такой:
1.
решить обратную задачу между пунктами
A и B и получить дирекционный угол αAB
и
длину b линии AB,
2.
вычислить угол γ
при
вершине P, называемый углом
засечки,
(2.19)
3.
используя теорему синусов для треугольника
APB:
(2.20)
вычислить
длины сторон AP (S1) и BP (S2) ,
4.
вычислить дирекционные углы α1
и
α2:
(2.21)
5.
решить прямую задачу от пункта A к точке
P и для контроля – от пункта B к точке P.
Для
вычисления координат X и Y в частном
случае прямой угловой засечки можно
использовать формулы Юнга:
(2.22)
От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геодезическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол αAB линии AB и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B
BAP = αAB – ( αAC + β1 ) и ABP = ( αBD + β2 ) – αBA .
Для машинного счета все рассмотренные способы решения прямой угловой засечки по разным причинам неудобны. Один из возможных алгоритмов решения общего случая засечки на ЭВМ предусматривает следующие действия:
1. вычисление дирекционных углов α1 и α2 , 2. введение местной системы координат X’O’Y’ с началом в пункте A и с осью O’X’, направленной вдоль линии AP, и пересчет координат пунктов A и B и дирекционных углов α1 и α2 из системы XOY в систему X’O’Y’ (рис.2.8):
X’A
= 0 , Y’A = 0 ,
(2.23)
,
(2.24)
,
3.
запись уравнений линий AP и BP в системе
X’O’Y’ :
(2.26)
Рис.2.8
и
совместное решение этих уравнений:
(2.27)
4.
перевод координат X’ и Y’ из системы
X’O’Y’ в систему XOY:
(2.28)
Так как Ctgα2′ = – Ctgγ и угол засечки γ всегда больше 0, то решение (2.27) всегда существует.
29.ЛИНЕЙНАЯ ЗАСЕЧКА
В этом способе положение проектной точки К на местности определяют в пересечении проектных расстояний d1 и d2, его применяют в основном для разбивки осей строительных конструкций при d1 и d2меньше длины мерного прибора. Одной рулеткой от А откладывают d1, а рулеткой от точки В отрезок d2. Пересечение отрезков d1 и d2 (при совмещении нулей рулеток с точками А и В) дает определяемую точку К(рис. 1.51).
Рис. 1.51. Линейная засечка
Средняя квадратическая ошибка mлз линейной засечки при одинаковой точности откладывания отрезков d1и d2
(1.57)
Величина ошибок исходных данных в линейной засечке
При mA = mB = mAB
Общая ошибка
(1.58)
Средняя квадратическая ошибка откладывания отрезка d = d1 = d2
(1.59)
При γ =90°, mк= 10мм, mАВ = 5 мм находим
