Независимые события.

Определение 1: Пусть (W,F,Р) - вероятностное пространство. Случайные события А и В (AÎF, BÎF) называются независимыми, если

Р(АВ)=Р(А)×Р(В).

Если это равенство не выполняется, то события называются зависимыми.

Такое определение независимых событий, на первый взгляд носит чисто формальный характер. Если, однако, отказаться от рассмотрения случайных событий нулевой вероятностной мерой введенное понятие независимости имеет близкую к естественным представлениям трактовку. Докажем следующее утверждение.

Пусть Р(В)>0. Случайные события А и В независимы тогда и только тогда, когда Р(А/В)=Р(А) (появление события В не изменяет вероятности события А).

Действительно, если А и В независимы и Р(В)>0, то

.

Если же известно, что

,

то , а это означает , что А и В независимы.

Таким образом, для событий с ненулевой вероятностной мерой имеем эквивалентное определение независимости: два события А и В независимы, когда условная вероятность наступления одного из них, при условии, что второе событие произошло, равняется безусловной вероятности первого события.

Имеют место следующие свойства независимых событий: если А и В независимы, то события А и , и В, и также независимы.

Докажем, что А и независимы (остальное доказать самостоятельно). Заметим, что

Поэтому .

Если А и В независимы, то

.

Следовательно А и независимы.

Доказать самостоятельно, что в случае, если А и В независимы и Р(А)>0, P(B)>0, то А и В обязательно несовместны.

Определение 2. Случайные события А₁, А₂, ... , А_n независимы в совокупности, если для произвольного k, 1£ k £ n, и для произвольного набора индексов і₁, і₂,..., і_k, 1 £ і₁ < і₂ < ... < і_k £ n,

.

В частности, если А₁, А₂, ... , А_n независимы в совокупности, то произвольные два события А_і и А_j, і¹j, независимы. Однако из попарной независимости независимость в совокупности не следует.

Пусть для любого набора указанных индексов і₁, і₂, ... , і_k . Тогда для произвольного j¹ , 1£ j £ n

(1)

Действительно, из независимости в совокупности {A_i} имеем:

.

Наоборот, если для произвольных событий из {A_i} имеет место (1), то А_і, і= , независимы в совокупности (доказать самостоятельно, используя индукцию по k).

Таким образом для событий А_і, і= , таких что для любой последовательности индексов і₁, і₂, ... , і_k , можно дать эквивалентное определение независимости: события А_і, і= , независимы в совокупности, если вероятность наступления одного (произвольного) из них, при условии наступления произвольной совокупности других событий из {A_i}, равна безусловной вероятности.

Пример (С.Н.Берштейна^*). На плоскость бросают тетраэдр, три грани которого покрашены соответственно в красный, зеленый, синий цвета, а на четвертую грань нанесены все три цвета.

Пусть событие К состоит в том, что выпадает грань красного цвета, и пусть аналогично определены события З и С. Так как каждый из трех цветов нанесен на 2 грани, то

Р(К)=Р(З)=Р(С)=2/4=1/2.

Далее

Р(КЗ) = Р(КС) = Р(ЗС) = 1/4,

и, следовательно, события К, З, С попарно независимы. Однако эти события не являются независимыми в совокупности, потому что

Р(КЗС) = 1/4 ¹ Р(К)Р(З)Р(С) =1/8.