Характеристики дискретных случайных величин

Пусть случайная величина Х принимает конечное число различных значений х₁,х₂,...,х_s, и пусть р_i=P(X=x_i), i=1..s. Проведем n независимых испытаний, в каждом из которых наблюдается величина Х. Обозначим через а₁,а₂,...,а_n реализации случайной величины в соответствующих испытаниях. Тогда среднее значение реализаций можно представить следующим образом:

где m_i–частота появлений в n независимых испытаниях события {X=x_i}. Тогда

где W_n(X=x_i) – частость события {X=x_i}.

При большом числе частость стремится к вероятности события. Заменяя частость на вероятность, мы получим аналитический аналог среднего значения реализаций случайной величины

,

который называется математическим ожиданием (или вероятностным средним) случайной величины Х.

При конечном числе s возможных значений случайной величины Х проблем со сходимостью правой части последнего соотношения не возникает. Однако это не так, если s бесконечно. Желательно, чтобы результат не зависел от нумерации слагаемых в правой части равенства. Этого можно добиться, если потребовать абсолютной сходимости ряда ,т.е. чтобы . Итак, приходим к общему определению.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х, принимающей значения х₁,х₂,...,х_s,..., с вероятностями р₁,р₂,...,р_s,..., называется число

при условии, что ряд справа абсолютно сходится.

Математическое ожидание является как бы аналогом центра масс точечной механической системы с координатами точек на оси х₁,х₂,...,х_s, и их массами р₁,р₂,...,р_s.

Как центр масс:

Но так как р₁+р₂+...+р_s=1, то

Смысл математического ожидания заключается в следующем: это точка на числовой оси, относительно которой группируются результаты конкретных испытаний над дискретной случайной величиной.

Свойства математического ожидания.

В дальнейшем детерминированной величиной (константой) С считаем дискретную случайную величину Х, принимающую одно значение х₁=С с вероятностью р₁=1.

1. Математическое ожидание константы равно этой константе:

МС=С.

Действительно, по определению

МС=х₁р₁=С*1=С.

Рассмотрим простейшие функции от дискретной случайной величины Х в предположении, что существует ее математическое ожидание.

2. Математическое ожидание величины СХ, где С – константа, а Х – дискретная случайная величина, равно

МСХ=СМХ,

т.е. константа выносится из-под знака математического ожидания.

Таблица для случайной величины СХ имеет вид

По определению математического ожидания

3. Математическое ожидание суммы Х+b, где Х - дискретная случайная величина, а b - постоянная, равняется

М(Х+b)=MX+b

Строим таблицу

Имеем

4. Самостоятельно доказать, что

M(aX+b)=aMX + b,

если а и b постоянные, Х - дискретная случайная величина.

5. Пусть случайная величина Y является функцией f ( X ) от дискретной случайной величины Х. Для случайной величины Y = f ( X ) строим таблицу

Тут мы допускаем, что все f ( x_i ) имеют разные значения. Если это не так, объединяем равные значения функции, суммируя соответствующие вероятности. Математическое ожидание случайной величины Y равняется :

(при бесконечном s дополнительно требуем, чтобы ряд в правой части равенства абсолютно сходился ).

Математические ожидания некоторых функций от случайной величины Х имеют специальные названия.

6. Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины Y=X^k :

Понятно, что ₁=МХ. Иногда обозначают МХ= ( без индекса ).

7. Центрированная случайная величина - это величина, равная

Х^/=Х-МХ.

Математическое ожидание МХ^/ равняется нулю. Действительно, МХ - детерминированная величина, и на основании третьего свойства

МХ^/ = M ( X - MX ) = MX - MX = 0

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется начальный момент k-го порядка случайной величины Х^/:

Дисперсией случайной величины Х называется ее центральный момент второго порядка:

Дисперсия является мерой концентрации результатов конкретных испытаний над случайной величиной.

Положительное значение квадратного корня из дисперсии имеет название среднего квадратического отклонения и обозначается _X:

.

Свойства дисперсии.

1. Чем меньше дисперсия, тем более тесно группируются результаты конкретных испытаний вокруг математического ожидания.

Действительно, пусть дисперсия мала, тогда мало и каждое слагаемое (x_i-)².p_i суммы. Для x_i, которое по модулю резко отличается от математического ожидания , вероятность p_i должна быть малой величиной. Следовательно, большую вероятность (а, значит, и частость в длительной серии испытаний) могут иметь лишь те x_i, которые по модулю мало отличаются от математического ожидания.

2. Если дисперсия равняется нулю, то Х - детерминированная величина с вероятностью единица.

Действительно, пусть все x_i разные и

DX=

Ввиду того что все р_i не могут равняться нулю ( должно выполняться условие нормировки ), то это равенство означает, что существует единственное x_i =  и такое, что р_i = 1 ( остальные значения величина Х может принимать с вероятностью ноль).

3. Дисперсия суммы дискретной случайной величины Х и постоянной С равняется дисперсии величины Х:

D( X + C ) = DX

Действительно,

Y = X + C,

Y^/ = Y - MY = X + C - M( X + C ) = X - MX = X^/,

DY = M(Y^/)² = M(X^/)² = DX.

4. Константа выносится из - под знака дисперсии с квадратом:

D( CX ) = C²DX.

Действительно,

Y = CX,

Y^/ = Y - MY = CX - M( CX ) = CX - CMX = C( X - MX ) = C X^/,

DY = M(Y^/ )² = M(CX^/ )² = MC²(X’)² = C²M(X^/)² = C²DX.

5. Имеет место полезное соотношение между дисперсией и начальными моментами первого и второго порядка:

DX = ₂ - ₁².

Действительно,