Коэффициент ковариации, коэффициент корреляции двух случайных величин

Определение: Коэффициентом ковариации двух случайных величин X и Y называют число, равное:

Свойства коэффициента ковариации:

Если случайные величины независимы, то их коэффициент ковариации равен нулю, обратное утверждение в общем случае не справедливо.

Пример: Случайная величина X распределена нормально с MX=0, случайная величина Y=X².

Найдем коэффициент ковариации:

Определение: Нормированной случайной величиной X называется случайная величина вида (безразмерная случайная величина)

Покажем, что нормированная случайная величина имеет нулевое математическое ожидание, единичную дисперсию:

Обозначим и

Определение: Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется коэффициент ковариации случайных величин X^* и Y^* .

Найдем дисперсию суммы / разности двух случайных величин:

=[для независимых случайных величин ковариация равна нулю]

Вывод: Дисперсия суммы / разности независимых случайных величин равна сумме дисперсий.

Доказать:

1. Дисперсия суммы / разности произвольного количества независимых в совокупности случайных величин равна сумме дисперсий.

2. Если полярные ковариации двух произвольных случайных величин из общего числа случайных величин равны нулю, то дисперсия суммы / разности случайных величин равна сумме дисперсий.

Свойства коэффициентов корреляции (ковариации)

1. Покажем, что

Рассмотрим

С другой стороны,

2. Если коэффициент корреляции , то в общем случае с вероятностью 1 X и Y связаны линейно.

Доказательство: Пусть

а) Дискретный случай

Так как математическое ожидание равно нулю и

б) Непрерывный случай

На основании неравенства Чебышева имеем:

С вероятностью 1 имеем: X^*= -Y^*

Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между случайными величинами X и Y .

В общем случае можно показать следующее:

y

0 x

y=ax+b

Если на плоскости провести прямую y=ax+b и проводить испытания над дискретной случайной величиной (X,Y), то результаты будут тем точнее концентрироваться к прямой, чем ближе коэффициент корреляции к 1. Показать это самим.

Сумма двух независимых случайных величин

а) Дискретный случай

Z=X+Y

Найдем вероятность того, что

где обозначает суммирование по тем значениям случайной величины X, при которых z-x является возможным значением y. Если договорится, что P_y(z-x)=0 , то в результате получаем две симметричные формулы:

б) Непрерывный случай

f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)

Z=X+Y

Найдем функцию распределения случайной величины Z :

Тогда:

Двумерное нормальное распределение

Дискретная случайная величина (X,Y) имеет двумерное нормальное распределение, если ее двумерная плотность вероятности

_X, _Y - математические ожидания X и Y;

_X, _Y- среднеквадратические отклонения величин X и Y;

- коєффициент корреляции случайных величин X и Y;

Свойства двумерного нормального распределения:

1. Показать самим, что

2. Показать самим, что одномерная плотность величины X:

   

3. Показать самим, что

   

4. Если , то случайные величины XY являются независимыми, так как их двумерная плотность равна произведению одномерных плотностей. Показать это самим.

5. Найдем условное распределение случайной величины Y:

Обозначим:

Свойства:

Условная плотность вероятности -это плотность нормального распределения, где в качестве параметров фигурирует условное математическое ожидание и условная дисперсия. При этом условное математическое ожидание равно:

и является линейной функцией от X .

Условная дисперсия является константой: и от X не зависит.