Частость наступления события.

Пусть пространство элементарных событий W конечно и состоит из m элементарных событий. W={w₁, w₂,...,w_m}. В этом случае в качестве всех событий обычно рассматривают 2^m событий-множество всех подмножеств пространства элементарных событий W (самостоятельно убедиться, что их действительно 2^m).

Пример:

W={w₁,w₂,w₃},

А₁=V=Æ,

A₂={w₁}, A₃={w₂}, A₄={w₃},

A₅={w₁, w₂}, A₆={w₂, w₃}, A₇={w₁, w₃}, A₈=U=W={w₁, w₂, w₃}.

Обозначим систему этих событий через F. Возьмем произвольное событие АÎF. Проводим серию испытаний в количестве n. Частотой n_A наступления события A в n испытаниях называем количество испытаний, в каждом из которых произошло событие А. Частостью наступления события A в n испытаниях будем называть число

Имеют место следующие свойства частости:

1. 

   2. Частость достоверного события равна 1, т.е. W_n(U)=1

3. Рассмотрим систему А_і, і= , несовместных событий из F, т.е. А_i×A_j=V, i¹j. Пусть . Тогда

.

Действительно, пусть в результате некоторого испытания произошло событие А_j. По определению суммы это означает, что в этом испытании произошло некоторое элементарное событие wÎА_j. Так как все события несовместны, то это означает, что никакое другое событие А_і (i¹j) в этом испытании произойти не могло. Следовательно, n_A=n_A1+n_A2+...+n_Ak , а значит

Теория вероятностей используется при описании таких случайных явлений, для которых выполняется следующее свойство устойчивости частости: для любого события А частость наступления этого события практически в любой достаточно длинной серии испытаний мало отличается от некоторого числа, которое естественно считать мерой возможности рассматриваемого события (вероятностью).

Первоначально аксиоматика теории вероятностей и строилась на “эмпирическом” определении вероятности как предела частости при числе испытаний, стремящемся к бесконечности (Р. Э. Мизес^* ). Однако, математики сразу столкнулись с серьезными логическими трудностями при построении общей теории.

В дальнейшем (1933г.) аксиоматика теории вероятностей была сформулирована А. Н. Колмогоровым** и основана на другом принципе определения вероятности. Это оказало плодотворное влияние на все последующее развитие теории вероятностей, и поэтому аксиоматика А. Н. Колмогорова принята сейчас повсеместно. При этом свойство устойчивости частости (как мы увидим в последствии) в определенном смысле сохраняется.

Аксиоматика теории вероятности.

Алгебры и s - алгебры множеств.

До сих пор мы в качестве событий рассматривали любые подмножества множества W. Тем самым неявно предполагалось, что класс событий есть класс всех подмножеств множества W. Он удобен тем, что введенные нами ранее операции над событиями не выводят нас из этого класса; можно не беспокоиться, что, применив над событиями какое угодно число раз указанные операции, мы получим некоторый новый объект (уже не событие). Это очень важно с точки зрения необходимости осуществлять различного рода предельные переходы, в частности, при доказательстве предельных теорем.

Однако, подобным образом класс всех событий обычно определяют только в случае, когда W есть конечное множество, т. е. состоит из конечного числа элементарных событий. Если же W бесконечно, то в силу ряда причин, связанных с последующим введением вероятностной меры, приходится оперировать не со всеми подмножествами множества W, а лишь с некоторыми более узкими классами этих подмножеств, называемыми алгебрами и s-алгебрами множеств, последние из которых замкнуты в смысле введенных теоретико-множественных операций.

Определение 1. Класс А подмножеств пространства W называется алгеброй множеств, если

1. WÎА;

   2. из АÎА следует ÎА;

3. из АÎА и ВÎА следует АВÎ А.

Показать самостоятельно, что если А есть алгебра, то

4. ÆÎА;

5. из АÎА и ВÎА следует АВÎА;

6. из АÎА и ВÎА следует А\ВÎА;

7. свойства 3) и 5) распространяются на любое конечное число слагаемых и сомножителей (указание: использовать формулу де Моргана и принцип математической индукции)

Определение 2. Класс F подмножеств пространства  называется s-алгеброй множеств, если он является алгеброй, и, кроме того, из А_iÎF, i=1..¥, следует

ÎF.

Простейшими примерами алгебр и s-алгебр являются следующие.

Пусть  - пространство элементарных событий. Тогда алгеброй и s-алгеброй будет система множеств . Эта самая "тощая" s-алгебра мало интересна с практической точки зрения, так как содержит события, относительно которых все известно заранее (одно из них происходит всегда, другое никогда не происходит).

Еще один пример алгебры и s-алгебры - система всех подмножеств множества . Как уже отмечалось, эта s-алгебра используется для конечных . Рассмотрим s-алгебру так называемых борелевских множеств^* для =R¹=(-¥,¥), которая часто используется в различных вероятностных построениях.

Сначала введем следующие определения.

Определение 3. Пусть К - некоторый класс подмножеств множества . Тогда s-алгебра s(К) называется наименьшей s-алгеброй, содержащей класс К, если

1) К Î s(К);

2) для любой s-алгебры F, такой, что К Î F, имеем s(К) Î F

Имеет место следующая теорема:

Теорема 1. Для любого класса множеств К существует наименьшая s-алгебра s(К), содержащая класс К.

Доказательство. Заметим сначала, что существует хотя бы одна s-алгебра, содержащая класс К. Такой s-алгеброй является, например, s-алгебра всех подмножеств множества . Обозначим через s(К) пересечение всех s-алгебр, содержащих класс К.

Тогда s(К) есть s-алгебра (проверить самостоятельно, что пересечение любого числа s-алгебр является s-алгеброй.) Если F - любая s-алгебра, содержащая К, то s(К)ÎF, то есть s(К) есть наименьшая s-алгебра, содержащая класс К.

Возьмем теперь  = R¹ = (-¥,¥).

Определение 4. Наименьшая s-алгебра b, содержащая класс К всех интервалов вида (a,b), называется s-алгеброй борелевских множеств в R¹.

Заметим, что каждое одноточечное множество {а} является борелевским, т.к.

{a} =

Интервал (а,b) = [a,b) \ {a} есть борелевское множество. Аналогично, нетрудно убедиться, что борелевскими являются интервалы вида (a,b], [a,b], а также всевозможные конечные или счетные объединения и пересечения указанных интервалов и соответствующие дополнения.