Введение

Теория вероятностей возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных явлений лежат детерминированные закономерности. Теория вероятностей изучает указанные закономерности.

Например: предсказать однозначно выпадение "орла" или "решки" в результате однократного подбрасывания симметричной монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число "орлов" и "решек".

В основе теории вероятностей, как и любой другой математической дисциплины, лежат некоторые исходные понятия, не определяемые, а только толкуемые. При их введении в настоящее время принят теоретико-множественный подход к изложению теории вероятностей, которого мы будем придерживаться и в данном курсе лекций.

Исходным понятием теории вероятностей является понятие испытания или вероятностного (стохастического) эксперимента. Под испытанием понимается реализация определенного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз. При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которых в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания, так что его результат нельзя предугадать заранее.

Например: испытание - однократное подбрасывание симметричной монеты.

Конкретным результатом испытания является элементарное событие.

Например: испытание - однократное подбрасывание шестигранного игрального кубика, элементарное событие - выпадение грани с "2", если для нас несущественно положение "2" на плоскости.

Совокупность всех возможных различных конкретных исходов испытания образует пространство элементарных событий (множество всех элементарных событий). Его мы будем обозначать W, а его элементы (элементарные события) - маленькими буквами, например, w с индексами. Таким образом, W={w}.

Пример: испытание - однократное подбрасывание шестигранного игрального кубика, пространство элементарных событий W={w₁,w₂,..., w₆},где w_i - элементарное событие, состоящее в выпадении грани с i очками, i=1..6.

В предыдущем примере пространство элементарных событий является конечным множеством. Однако, во многих задачах теории вероятностей приходится иметь дело с испытаниями, имеющим бесконечное число возможных конкретных исходов.

Пример: испытание - стрельба по круглой мишени. Если нас интересует точка, в которую попала пуля, то в качестве пространства элементарных событий можно принять множество всех точек круга К и одной дополнительной точки Æ, обозначающей непопадание стрелка в мишень.

Пример: испытание - броуновское движение частицы, пространство элементарных событий - множество всех возможных траекторий частицы.

Под сложным событием понимается некоторое подмножество пространства элементарных событий АÎW. Сложное событие в результате испытания наступает тогда и только тогда, когда в результате испытания происходит элементарное событие, принадлежащее этому сложному событию. Таким образом, если в результате испытания произошло некоторое элементарное событие, то в результате испытания происходят все сложные события, в состав которых входит это элементарное событие.

Пример: испытание - однократное подбрасывание шестигранного игрального кубика, элементарное событие ₁ - выпадение грани с номером 1, сложное событие А₁={w₁,w₃,w₅} - выпадение грани с нечетным номером, сложное событие А₂={w₁,w₂,w₃}- выпадение грани, номер которой не больше 3.

Различают также достоверное событие U=W - событие, которое происходит всегда в результате испытания, так как содержит все возможные элементарные события.

Для удобства аксиоматического построения теории вероятностей вводится невозможное событие V=Æ - событие, которое заведомо никогда не происходит в результате данного испытания (не содержит ни одного элементарного события). Содержательно, под V подразумевается все, что не может произойти в результате испытания.

Например: испытание - двукратное подбрасывание игрального кубика, невозможное событие - суммарное количество очков при двух подбрасываниях меньше двух.

Далее будем предполагать, что ÆÎW.