Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости основаны на анализе частотных характеристик системы. Наибольшее распространение получили критерий Михайлова (1936г) и критерий Найквиста (1932 г.). В основе частотных критериев лежит принцип аргумента.

Принцип аргумента

Пусть дано характеристическое уравнение:

Это уравнение можно записать через его корни:

где ₁, ₂, …,_n - корни полинома D(p).

Выполним подстановку и перейдем в частотную область:

Представим элементарный множитель ( ) в виде вектора на комплексной плоскости и рассмотрим его поведение при изменении  от - до +.

Суммарный угол поворота равен 180⁰.

Для корня с отрицательной вещественной частью вектор ( ) поворачивается против часовой стрелки на 180⁰. Обозначим этот разворот как приращение аргумента элементарного вектора:

для изменения частоты  от - до +.

Для корня с положительной вещественной частью приращение аргумента составит

Если система устойчива, то все корни имеют отрицательную вещественную часть и приращение аргумента для всей функции D(j):

Если рассмотреть только действительные значения частоты от 0 до +, то

Критерий устойчивости Михайлова

Используя принцип аргумента, исследуем поведение функции при изменении w от 0 до +¥.

Для любого значения частоты w имеем вектор , который будет поворачиваться при изменении частоты. Траектория конца вектора называется годографом Михайлова. Принцип аргумента позволяет сформулировать критерий устойчивости Михайлова:

САУ будет устойчива, если годограф функции начинается на положительной вещественной полуоси и проходит последовательно n квадрантов (где n – порядок характеристического уравнения) нигде не обращаясь в нуль, и нигде не нарушается порядок следования квадрантов.

Пример устойчивых:

Пример неустойчивых:

Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.

Условие нахождения на границе устойчивости:

Формулировка может звучать иначе:

Для устойчивой САУ годограф начинается на вещественной положительной полуоси и должен поочередно пересекать мнимую и вещественную ось.

Для устойчивой САУ вещественные и мнимые части годографа Михайлова должны по очереди пересекать ось абсцисс.

Критерий устойчивости Найквиста

Критерий был разработан для исследования устойчивости электронных усилителей, а затем был обобщен и на САУ.

Этот критерий основан на рассмотрении АФХ разомкнутой системы, по виду которой судят об устойчивости замкнутой системы. АФХ может быть как теоретической, так и экспериментальной.

Пусть дана следующая система:

Замечание: Если исследуется система с неединичной обратной связью, то следует учитывать коэффициент передачи ОС.

Обозначим

Устойчивость замкнутой системы определяется характеристическим уравнением:

Уравнение, аналогичное годографу Михайлова для замкнутой системы имеет вид:

Критическая точка сместилась в точку с координатами (-1;j0).

Обозначим:

Применим принцип аргумента:

Чтобы замкнутая система была устойчива необходимо, чтобы все корни полинома имели отрицательную вещественную часть, но тогда

Пусть разомкнутая система неустойчива и имеет r корней с положительной вещественной частью (всего корней n), тогда

Найдем суммарное :

Полученный результат требует, чтобы для устойчивости замкнутой системы вектор совершил r/2 оборотов в положительном направлении вокруг точки

(-1;j0), где r – число положительных корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Вектор будет вращаться, если функция будет охватывать точку

(-1;j0).

Формулировка критерия Найквиста:

Замкнутая САУ будет устойчива, если АФХ разомкнутой системы охватывает точку (-1;j0) r/2 раз, где r – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.

Если разомкнутая система устойчива r=0 , то формулировка упрощается:

Замкнутая САУ будет устойчива, если АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (-1;j0).

1 – АФХ не охватывает точку (-1;j0), замкнутая система устойчива;

2 - АФХ проходит через точку(-1;j0), замкнутая система не границе устойчивости;

3 - АФХ охватывает точку (-1;j0), замкнутая система неустойчива;

Система условно устойчива (она может стать неустойчивой как при увеличении коэффициента устойчивости, так и при его уменьшении).

Формулировка критерия Найквиста для АЧХ:

Замкнутая САУ будет устойчива, если АЧХ А() станет меньше 1 раньше, чем ФЧХ () станет меньше -.