Устойчивость систем автоматического регулирования Понятие об устойчивости систем регулирования

Устойчивость – это способность системы возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния.

Наглядно устойчивость можно проиллюстрировать как шар, лежащий в некотором углублении. При всяком отклонении его о положения равновесия он будет стремиться возвратиться точно к нему (при отсутствии сил трения) или к некоторой конечной области, окружающей предшествующее положение равновесия (при наличии сил трения).

А₀ – точка невозмущенного состояния равновесия;

А₂ – точка возмущенного состояния равновесия;

Система называется устойчивой, если из возмущенного состояния равновесия она перейдет в некоторую конечную область, окружающую невозмущенное состояние равновесия.

Рассмотрим понятие устойчивости, для случая движения некоторой системы, состояние которой определяется независимыми координатами x₁(t), x₂(t), …, x_n(t).

Заданное движение системы определяется некоторым законом изменения координат: x₁₀(t), x₂₀(t), …, x_n0(t).

Приложение внешних сил к рассматриваемой системе вызовет отклонение действительного движения от заданного:

Это движение будет возмущенным.

Заданное возмущенное движение будет устойчивым, если в результате приложения внешних сил, которые затем снимаются, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область:

Пусть система регулирования описывается нелинейными дифференциальными уравнениями:

Начальные условия: при решение может быть представлено в виде где .

Пусть установившиеся процессы в системе характеризуются координатами . Введем отклонения координат процесса от установившегося: . Систему уравнений перепишем для отклонений:

, где f_i – некоторые нелинейные функции. Эти уравнения называются уравнениями возмущенного движения.

А.М. Ляпунов дал следующее определение устойчивости:

Невозмущенное движение (при ) называется устойчивым по отношению к переменным , если при всяком заданном положительном числе А², как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число так, что для всех возмущений , удовлетворяющих условию

возмущенное движение будет для времени удовлетворять неравенству

- некоторые весовые коэффициенты, необходимые для уравнивания физических размерностей .

Геометрическая интерпретация: В пространстве координат построим две сферы с радиусами  и А. Система будет устойчивой, если при возмущениях, не выведших изображающую точку из пределов сферы , возмущенное движение будет таково, что, начиная с некоторого времени , изображающая точка будет в пределах сферы А.

Связь устойчивости с корнями характеристического уравнения

Существуют следующие способы определения устойчивости:

1. прямой – путем решения дифференциального уравнения и анализа этого уравнения;

2. по корням характеристического уравнения;

3. по критериям устойчивости.

Рассмотрим способ 2.

Пусть динамика САУ описывается уравнением:

Приложим к системе внешнее воздействие, а затем снимем его. Это будет соответствовать нулевой правой части.

- характеристическое уравнение системы.

Корни характеристического уравнения определяют вид переходной составляющей в решении дифференциального уравнения. Проанализируем поведение системы для различных корней:

1. вещественный корень - в решении ему будет соответствовать вида :

а) -экспонента будет неограниченно возрастать, переходный процесс расходится, система неустойчива.

б) - имеем сходящийся переходный процесс, система устойчива.

в) - имеем нейтрально устойчивую систему, переходного процесса нет.

2) Пара комплексно-сопряженных корней

В решении имеем составляющую вида:

а) - имеем расходящийся переходный процесс, система неустойчива.

б) - имеем сходящийся переходный процесс, система устойчива.

в) - имеем незатухающие колебания, система находится на грани устойчивости.

г) - переходного процесса нет, имеем нейтрально устойчивую систему.

Вывод: для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть.

Реальные системы нелинейны и мы проводим их линеаризацию. Чтобы распространить сделанные выводы о корнях на линеаризованные системы, А.А. Ляпунов доказал следующие теоремы:

I теорема: Если линеаризованная система устойчива, то никакие из отброшенных при линеаризации корней не могут сделать ее неустойчивой.

II теорема: Если линеаризованная система неустойчива, то никакие из отброшенных при линеаризации корней не могут сделать ее устойчивой.

III теорема: Если линеаризованная система находится на грани устойчивости, то устойчивость реальной системы определяется корнями, отброшенными при линеаризации.