Вопрос 34. Гипербола(вершина, оси, полуоси, фокуса). Уравнения гиперболы, свойства и изображения.
Гиперболой
называется геометрическое место точек
на плоскости, абсолютная разность от
каждой из которых до 2-х точек
, называемых фокусами, есть величина
постоянная - 2a.
Каноническое
уравнение гиперболы:
,где a
и b-полуоси
2a
и 2b-оси
e=
-
эксцентриситет
.-
директрисы
Построение:
1)Строится
прямоугольник
,
то есть
,
2)Чертятся
диагонали
-вершины
Если
a=b,
то гипербола называется равнобочной
(становится квадратом).
если
и
фокусы
гиперболы, то касательная в любой
точки 
гиперболы
является биссектрисой угла 
.
Для любой точки лежащей на гиперболе отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.
Вопрос 35.Парабола. Уравнения параболы, свойства и изображения. Парабола-это множество всех точек плоскости равноудаленных от данной точки, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой.
Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:
(или 
,
если поменять местами оси).
Число
p называется фокальным параметром, оно
равно расстоянию от фокуса до директрисы[1].
Поскольку каждая точка параболы
равноудалена от фокуса и директрисы,
то и вершина — тоже, поэтому она лежит
между фокусом и директрисой на
расстоянии 
от
обоих.
Квадратное
уравнение 
при 
также
представляет собой параболу и графически
изображается той же параболой, что и 
,
но в отличие от последней имеет вершину
не в начале координат, а в некоторой
точке 
,
координаты которой вычисляются по
формулам:
где 
— дискриминант
Парабола — кривая второго порядка.
Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
Вопрос 36.Метод координат в пространстве. Основные задачи.
Пусть
- прямоугольная система координат в
пространстве, а М
– произвольная точка этого пространства
(рис.1).
Вектор
называется радиус-вектором
точки М
относительно точки О.
Так как
=
+
+
=
+
+
,
то
=
………………………(1)
где x, y, z – действительные числа.
Координаты x, y, z вектора называются координатами точки М в системе координат . Число х называется абсциссой, число y – ординатой, число к – аппликатой точки М и записывают М(x, y, z).
Ломаную
называют координатной
ломаной
точки М,
построив которую можно построить и саму
точку М.
В данном случае точка
является проекцией точки М
на ось
абсцисс,
- проекцией точки М
на ось ординат,
- проекцией точки М
на ось аппликат, и так как
=
,
=
,
=
,
то при этом, если точки М1,
М2,
М3
принадлежат соответственно полуосям
Ох, Oy,
Oz
отрицательного направления, то
,
,
.
В школьном курсе геометрии решаются основные задачи в прямоугольной системе координат:
1.
Координаты вектора по координатам его
начала и конца определяются так: Если
М1(x1,y1,z1),
M2
(x2,
y2,
z2),
то
=
(x2
– x1,
y2
– y1,
z2
– z1)
……………(2)
2.
Скалярное произведение векторов
= (а1,
а2,
а3)
и
=
(b1,
b2,
b3)
в координатах равно:
=
+
+
………………(3)
3. Длина вектора = (а1, а2, а3) вычисляется по формуле
…………………………(4)
4.
Угол между векторами
= (а1,
а2,
а3)
и
=
(b1,
b2,
b3)
из определения скалярного произведения
=
определяется так:
=
=
………………(5)
5.
Расстояние между двумя различными
точками М1(x1,y1,z1)
и M2
(x2,
y2,
z2)
равно:
=
=
……………….(6)
6. Уравнение сферы с центром в точке С(x0,y0,z0) и радиусом r имеет вид:
(x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = r2 …………………… (7)
7. Координаты точки М(x,y,z) – середины отрезка М1М2, где М1(x1,y1,z1) и
M2 (x2, y2, z2), М1 ≠ М2 находятся по формулам:
;
;
………………….(8)
8. Условие коллинеарности векторов = (а1, а2, а3) и = (b1, b2, b3) имеет вид
………………………………… .(9)