Вопрос 30.Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой Нормальное уравнение прямой

Нормальное уравнение прямой имеет вид

    ,

 где    – расстояние от прямой до начала координат;  – угол между нормалью к прямой и осью   .

Нормальное уравнение можно получить из общего уравнения (1), умножив его на нормирующий множитель   , знак  противоположен знаку   , чтобы   . 

Косинусы углов между прямой и осями координат называют направляющими косинусами,  – угол между прямой и осью   ,  – между прямой и осью   :

    ,

 тем самым, нормальное уравнение можно записать в виде

    .

Расстояние от точки до прямой

Пусть точка М ₁(х ₁, у ₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁ :

 (1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М ₀ перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x ₀ ) + B(y – y₀ ) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.

Вопрос31.Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности 2-х прямых. Угол между двумя прямыми

Пусть даны две прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

y = k₁ · x + b₁,            y = k₂ · x + b₂.

Найдем угол между первой и второй прямыми. Обозначим углы наклона прямых _ и __. Тогда

k₁ = tg_,      k₂ = tg₂.

Проведем через точку пересечения прямую, параллельную оси OX.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- формула для вычисления угла между двумя прямыми.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Если прямые и параллельны, то угол

и ,откуда из формулы получается . И наоборот, если , то по этой же формуле и . Таким образом, равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых.

Если прямые перпендикулярны, то , при этом или , откуда или . Справедливо также и обратное утверждение. Таким образом, для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

Вопрос 32.Окружность.Уравнение окружности.

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек на плоскости. Пусть дана окружность радиуса R с центром О . Найдем ее уравнение. Для произвольной точки M(x;y) окружности выполняется равенство OM=R. Используя формулу расстояния между двумя точками получим или после возведения в квадрат получаем равносильное уравнение . Это уравнение называется нормальным уравнением окружности. Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид Если R=1, то окружность называется единичной:

Любой отрезок, соединяющий 2 точки окружности называется ее хордой.

Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром, называется радиусом. - длина окружности.

Вопрос 33. Эллипс (вершины, оси, полуоси, фокусы). Уравнения эллипса. Э́ллипс — геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных точек   и   (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

 причем 

Окружность является частным случаем эллипса.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где a - действительная полуось, b - мнимая полуось .

Директрисами называются 2 прямые, которые имеют уравнения .

Эллипс симметричен относительно осей координат. Если a=b, то эллипс обращается в окружность , где .

e= - эксцентриситет эллипса. e-эллипс