6.6. Исследование формы распределения

Выяснение общего характера распределения предполагает не только

оценку степени его однородности, но и исследование формы распределения,

т.е. оценку симметричности и эксцесса.

Из математической статистики известно, что при увеличении объема

статистической совокупности ( N ) и одновременном уменьшении

интервала группировки ( xi 0) , полигон либо гистограмма распределения

все более и более приближаются к некоторой плавной кривой, являющейся

для указанных графиков пределом. Эта кривая называется эмпирической

кривой распределения и представляет собой графическое изображение в

виде непрерывной линии изменения частот, функционально связанного

с изменением вариант.

В статистике различают следующие виды кривых

распределения:

одновершинные кривые;

многовершинные кривые.

Однородные совокупности описываются одновершинными кривыми.

Многовершинность распределения свидетельствует о неоднородности

изучаемой совокупности или о некачественном выполнении группировки.

Одновершинные кривые распределения делятся на симметричные,

умеренно асимметричные и крайне асимметричные.

Распределение называется симметричным, если частоты любых 2-

х вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения,

равны между собой. В таких распределениях x Mo Me .

Для характеристики асимметрии (несимметричности распределения)

используют специальные показатели - коэффициенты асимметрии.

Наиболее часто используются следующие из них:

x Mo

Коэффициент асимметрии Пирсона As .

В симметричных распределениях As=0. При As<0 наблюдается

отрицательная (левосторонняя) асимметрия (рис. 6.4.), для которой

характерно следующее соотношение между показателями центра

распределения:Mo>Me> x .

81

Рис. 6.4. Левосторонняя асимметрия

При As>0 наблюдается правосторонняя асимметрия (рис.6.5). В

распределениях с правосторонней асимметрией Mo Me x .

Рис. 6.5. Правосторонняя асимметрия

Чем ближе по модулю Asк 1, тем асимметрия существеннее:

если |As|<0,25, то асимметрия считается незначительной;

если 0.5 < As <0.25 то асимметрия считается умеренной;

если |As|>0,5 – асимметрия значительна.

Коэффициент асимметрии Пирсона характеризует асимметрию только

в центральной части распределения, поэтому более распространенным и

более точным является коэффициент асимметрии, рассчитанный на

основе центрального момента 3-его порядка:

3

As 3

,

где 3 - центральный момент третьего порядка;

3

- среднее квадратическое отклонение в третьей степени.

Центральным моментом в статистике называется среднее отклонение

индивидуальных значений признака от его среднеарифметической величины.

Центральный момент k-ого порядка рассчитывается как:

82

N k

( xi x)

k

i 1

- для несгруппированных данных;

n

m

( xi x)k

k = i 1

m

- для сгруппированных данных.

i 1 ni

Соответственно формулы для определения центрального момента

третьего порядка имеют следующий вид:

( xi x ) 3

3 - для несгруппированных данных;

n

( xi x ) 3 ni

3 - для сгруппированных данных.

ni

Для оценки существенности рассчитанного вторым способом

коэффициента асимметрии определяется его средняя квадратическая ошибка:

6 ( N 1)

As .

( N 1) ( N 3)

AS

Если >3, асимметрия является существенной.

AS

Для одновершинных распределений рассчитывается еще один

показатель оценки его формы – эксцесс.Эксцесс является показателем

островершинности распределения. Он рассчитывается для симметричных

распределений на основе центрального момента 4-ого порядка 4 :

4

Ex 4

3,

где 4 - центральный момент 4-го порядка.

N

( xi x )4

4

i 1

- для несгруппированных данных;

N

m

( xi x )4 ni

4 = i 1

m

- для сгруппированных данных.

ni

i 1

При симметричных распределениях Ех=0 .Если Ех>0, то распределение

относится к островершинным, если Ех<0 – к плосковершинным.

Рассчитаем показатели асимметрии и эксцесса для ряда распределения

рабочих по стажу работы. Ранее для данного ряда были получены следующие

характеристики:

x 12 лет, Мо=12,9 лет, =6,3 года.

Коэффициент асимметрии Пирсона получается равным:

83

x Mo 12 12,9

As 0,14 <0, что говорит о наличии незначительной

6,3

левосторонней асимметрии в центральной части распределения.

Коэффициент асимметрии, рассчитанный через центральный

момент 3-его порядка:

3

( xi x ) 3 ni 61,44 61,44

As := 0,24 >0.

3

ni 6,33 250

Это означает, что в целом по всему ряду наблюдается правосторонняя

асимметрия.

Расчет центрального момента 3- его порядка 3 приведен во

вспомогательной таблице 6.3

Таблица 6.3

Расчет центральных моментов 3- его и 4-ого порядка

№ xi ni xi x (xi x)3 (xi x)3 ni ( xi x )4 ( xi x)4 ni

1 2 6 -10 -1000 -6000 10000 60000

2 6 8 -6 -216 -1728 1296 10368

3 10 11 -2 -8 -88 16 176

4 14 13 2 8 104 16 208

5 18 6 6 216 1296 1296 7776

6 22 4 10 1000 4000 10000 40000

7 26 2 14 2744 5488 38416 76832

Итого 14 50 - - 3072 - 195360

Показатель эксцесса:

195360 3907,2

Ex 4

4

3 6,34 3 3 2,5 3 0,5 , что свидетельствует

50 1575,3

о плосковершинности распределения.