Задания для закрепления:

1. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на два средних квадратических отклонения.

Ответ:

2. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что , если DX = 0,004. Ответ:

3. Дано и DX = 0,009. Пользуясь неравенством Чебышева найти . Ответ:

4. Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,5. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появления события А будет заключено в пределах от 40 до 60. Если будет произведено 100 независимых испытаний.

Ответ:

5. Дискретная случайная величина X задана законом распределения :

X 0,1 0,4 0,6

P 0,2 0,3 0,5

Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что . Ответ:

6. Дискретная случайная величина X задана законом распределения :

X 0,3 0,6

P 0,2 0,8

Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что . Ответ:

7. Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0,25. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что число Х появления события А будет заключено в пределах от 150 до 250. Если будет произведено 800 независимых испытаний.

Ответ:

8. Длина изготовляемых изделий представляет случайную величину, среднее значение которой (математическое ожидание) равно 90 см. Дисперсия этой величины равна 0,0225. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что : а) отклонение длины изготовленного изделия от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,4; б) длина изделия выразится числом, заключенным между 89,7 и 90,3.

Ответ: а)

9. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения.

Хn	-	0
p	1/4	1/2	1/4

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева ?

Ответ: применима. и .

10. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения.

Хn	-а	а
p	n/(2n+1)	(n+1)/(2n+1)

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Ответ: применима. и

11. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения.

Хn		0
p

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева ?

Ответ: Применима: и

12. Последовательность независимых случайных величин задана законом распределения.

Хn
p	1/2	1/2

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева ?

Ответ: Не применима: и

13. Среднее значение расхода воды в населенном пункте составляет 50000 л в день. Оцените вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды не будет превышать 120000 л в день.

Ответ: P 0,583.

13. Средняя масса клубня картофеля равна 100 г. Применяя неравенство Маркова, оцените вероятность того, что наудачу взятый клубень имеет массу не более 300 г.

Ответ: P 0,66.

13. В результате анализа торговой деятельности некоторого магазина установлено, что среднемесячные издержки обращения составляют 300 условных денежных единиц. Оцените вероятность того, что в очередном месяце издержки не выйдут за пределы 280-320 денежных единиц. Известно, что дисперсия издержек равна 16 ден. ед.

Ответ: Р > 0,96.

13. На станке изготавливается некоторая деталь. Оказывается, что ее длина X представляет собой случайную величину. При измерении в трех случаях длина оказалась равной 20,1 см, в двух случаях - 19,8 см, в одном случае длина оказалась равной 20,5 см, а в четырех случаях - 19,9 см. Найдите нижний предел вероятности того, что длина детали будет заключена между 19,7 и 20,3 см.

Ответ: Р 0,555.

13. Для определения средней урожайности на площади 10000 га взято на выборку по одному гектару от каждого участка размером 100 га. Определите вероятность того, что средняя выборочная урожайность будет отличаться от действительной средней по всей площади не более чем на 0,5 ц, если дисперсия урожайности на отдельных участках (по 100 га) не превышает 2 ц. Ответ: P 0,92.

14. Определите с вероятностью (надежностью) не менее 0,8, каково может быть максимальное отклонение выборочной средней урожайности от средней урожайности по всей площади, составляющей 10000 га, если с каждого участка размером 200 га на выборку было взято по одному гектару, а максимальная дисперсия на отдельных участках не превышает 2,5ц. Ответ: =0,5.

15. Партия деталей размещена в 250 ящиках. Для определения средней массы детали в партии было взято по одной детали из каждого ящика. При условии, что дисперсия по каждому ящику не превышает 4, определите максимальное отклонение средней массы детали в выборке от средней массы ее во всей партии. Результат необходимо гарантировать с вероятностью не менее 0,9.

Ответ: =0,4.

13. Известно, что на некотором заводе в среднем 70% продукции первого сорта. С вероятностью не менее 0,9 определите границы, в которых должна находиться относительная частота первосортной продукции в партии из 10 000 единиц.

Ответ: P(0,686 < m / n < 0,714) 0,9.

13. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 900 испытаний равна 0,7. Используя теорему Бернулли, оцените вероятность того, что событие состоится число раз, заключенное между 600 и 660.

Ответ: Р > 0, 79.

13. Вероятность наступления некоторого события одинакова в каждом испытании. Предполагается произвести 10000 испытаний. Используя теорему Бернулли, оцените вероятность того, что при этом число наступления события отклонится от наиболее вероятного значения не более чем на 100.

Ответ: Р > 0,8125.

13. Принимая одинаково вероятным рождение мальчика и девочки, оцените с помощью теоремы Бернулли вероятность того, что из 1000 родившихся детей мальчиков будет от 465 до 535.

Ответ: Р >0, 796.

13. Подлежат исследованию 400 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе для всех проб одинакова и равна 0,8. Используя теорему Бернулли, оцените вероятность того, что число проб с промышленным содержанием металла будет заключено между 290 и 350.

Ответ: Р > 0,928.

11-Занятие. Генеральная и выборочная множства. Группированные и интервальные вариационные ряды