Практические занятия по предмету “Теории вероятностей и математическая статистика” 2-курс, направление математика, (рус.Гр.)
7-Занятие. Закон распределения функции от случайной величины.
Повторения пройденных тем.
Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из некоторого множества значений.
Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной. (пример 1.)
Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого числового промежутка, называется непрерывной случайной величиной.(пример 2.)
Примеры.
1. Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, есть случайная величина, она может принять одно из значений: 1,2,3,4,5,6;
-
Прирост веса домашнего животного за месяц есть случайная величина, которая может принять значения из некоторого числового промежутка.
2.2 Числовые характеристики дискретных случайных величин
Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности :
.
Если
случайная величина принимает счетное
множество возможных значений, то
.
Дисперсией
случайной величины Х
называется
математическое ожидание квадрата
отклонения:
.
Для дискретной случайной величины дисперсия определяется как:
Пусть дискретная величина ( имеет ряд распределения:
|
|
х1 |
х2 |
... |
хn |
... |
|
Р |
p1 |
p2 |
... |
pn |
... |
и пусть y=g(x) - монотонная функция от действительного аргумента. Тогда дискретная случайная величина = g(), которая является функцией от , имеет ряд распределения
|
|
g(х1) |
g(х2) |
... |
g(хn) |
... |
|
Р |
p1 |
p2 |
... |
pn |
... |
Если y = g(x) - немонотонная функция, то среди ее значений g(х1), g(х2), ..., g(хn), ... могут быть и равные. В этом случае столбцы с равными значениями g(хi) объединяют в один столбец, а соответствующие вероятности складывают.
Пусть
теперь
- непрерывная
случайная величина с функцией распределения
и плотностью вероятности
и пусть функция y
= g(x)
монотонно возрастает,
- обратная функция. Тогда
.
Дифференцируя
последнее равенство по y,
имеем (если
)
дифференцируема)
,
откуда получаем соотношение между плотностями:
.
Если y = g(x) - монотонно убывающая функция, то аналогично получаются следующие соотношения:
и
.
Итак,
если
непрерывная случайная величина, заданная
плотностью вероятностей
,
и если y
= g(x)
дифференцируемая,
строго возрастающая или строго убывающая
функция, обратная функция которой
,
плотность вероятностей
случайной величины
находиться
по равенству:
.
Случай, когда функция y = g(x) является монотонной, имеет основное прикладное значение.
Если
функция y
= g(x)
на интервале возможных значений не
монотонна, то следует разбить этот
интервал на такие интервалы, в которых
функция g(x)
монотонна, и найти дифференциальные
функции
для каждого из интервалов монотонности,
а затем представить
в виде суммы:
.
Например,
если функция монотонна в двух интервалах,
в которых соответствующие обратные
функции равны
и
,
то
.