Решение типовых примеров:
Пример 1. Случайная величина Х задана плотностью распределения:
Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х.
Решение: Согласно определениям математического ожидания и дисперсии имеем:
.
И,
наконец,
Ответ:
Пример 2. Случайная величина Х задана функцией распределения:
Определить начальный и центральные моменты третьего порядка случайной величины Х.
Решение: Найдем дифференциальную функцию Х:
Согласно определению математического ожидания имеем:
Начальный момент третьего порядка находим по формуле :
И, наконец, центральный момент третьего порядка равен:
Ответ:
;
.
Пример
3. Случайная
величина Х задана дифференциальной
функцией
в интервале
; вне этого интервала
.
Найти математическое ожидание функции
(не находя предварительно дифференциальной
функции Y)
.
Решение:
Воспользуемся формулой для вычисления
математического ожидания функции
от
случайного аргумента:
Интегрируя по частям, окончательно получим
.
Ответ:
.
Пример
4. Случайная
величина X задана дифференциальной
функцией
в интервале
;
вне этого интервала
.
Найти:
а) моду;
б) медиану величины Х.
Решение:
а) легко убедиться, что функция
в интервале
не
имеет максимума, поэтому Х моды не имеет.
б)
Найдем медиану Ме
Х , исходя из определения:
.
Учитывая, что по условию возможные
значения Х положительны, перепишем это
равенство так,
или
.
Отсюда
.
Следовательно,
искомая медиана равна
.
Ответ:
а) Х не имеет
моды; б) медиана равна
.
Пусть (X,Y) двумерная случайная величина. Коэффициент ковариации (X,Y) определяется следующим образом:
или
.
Коэффициент ковариации находится по формулам:
,
если X и Y дискретные случайные величины , и
,
если X
и Y
непрерывные случайные величины и f(x,y)
- плотность их совместного распределения.
Для характеристики связи между величинами X и Y служит коэффициент корреляции
.
Для
любых двух случайных величин
.
Если случайные величины X
и Y
независимы, то
.
Случайные величины называются
некоррелированными, если
.
Две некоррелированные случайные величины
также и зависимы. Из некоррелированности
двух случайных величин следует их
зависимость, но из зависимости еще не
вытекает коррелированность.
Пусть
(X,Y)
двумерная случайная величина, где Х и
Y
- зависимые случайные величины. Представим
одну из величин как линейную функцию
другой
.
Линейная средняя квадратическая регрессия (или просто линейная регрессия) Y на Х имеет вид:
,
где
MX,
MY
- математические ожидания,
- средние квадратичные отклонения,
-
коэффициент корреляции случайных
величин X
и Y.
Коэффициент
называют коэффициентом
регрессии
Y
на Х , а прямую
называют
прямой
регрессии. Величину
называют остаточной
дисперсией
случайной величины Y
относительно случайной величины Х; она
характеризует величину ошибки, которую
допускают при замене Y
линейной функцией
.
При
остаточная дисперсия равна нулю и
величины Y
и Х связаны линейной функциональной
зависимостью.
Аналогично можно получить прямую регрессии Х на Y :
(
коэффициент регрессии Х на Y)
и остаточную дисперсию
величины Х относительно Y.
Если
,
то обе прямые регрессии
и
совпадают. Из уравнений регрессии
следует, что обе прямые регрессии
проходят через точку (MX,MY)
- центр рассеивания двумерной случайной
величины (Х,Y).