Напряженность поля плоского конденсатора (вывод). Удельная сила взаимодействия между двумя бесконечными равномерно заряженными плоскостями.
Поле плоского конденсатора можно рассматривать как совокупность полей двух бесконечных разноименно заряженных плоскостей (рис. 2, а и б). Напряженность поля (рис. 2, в) можно найти по принципу суперпозиции:
E⃗ =E⃗ 1+E⃗ 2,
где E1=E2=σ2ε0⋅ε=q2ε0⋅ε⋅S — напряженности электрических полей каждой из обкладок конденсатора, σ — поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора. Тогда в проекциях на ось 0Х: справа и слева от пластин — Eх=0; между пластин — E=2E1=qε0⋅ε⋅S.
Электроемкость плоского конденсатора C=qU, где U=E⋅d, d — расстояние между пластин. Следовательно, C=qE⋅d=qd⋅1E=qd⋅ε0⋅ε⋅Sq=ε0⋅ε⋅Sd..
Поле двух параллельных бесконечно больших плоскостей, заряженных разноименно с одинаковой по величине постоянной поверхностной плотностью можно рассматривать как суперпозицию полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. В области между плоскостями (рис.2.13) складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность равна
Вне объема, ограниченного плоскостями, складываемые поля имеют противоположные направления, так что результирующая напряженность равна нулю E=0. Таким образом, поле сосредоточено между плоскостями. Напряженность поля во всех точках этой области одинакова по величине и по направлению. Поле, обладающее такими свойствами, называется однородным. Линии напряженности однородного поля представляют собой совокупность параллельных равноотстоящих прямых.
Полученный результат приблизительно справедлив и в случае плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями значительно меньше их линейных размеров (плоский конденсатор). В этом случае заметные отклонения поля от однородности напряженности наблюдаются только вблизи краев пластин (рис. 2.14).
Пусть две бесконечные
плоскости заряжены разноименными
зарядами с одинаковой по величине
плотностью σ .
Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей. Тогда внутри плоскостей
Вне плоскостей напряженность поля .
Распределение напряженности электростатического поля между пластинами конденсатора показано на рисунке .
Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин): , т.е. .
Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондермоторными. Тогда сила притяжения между пластинами конденсатора: где S – площадь о,кладок конденсатора. Т.к. , то . Это формула для расчета пондермоторной силы.
Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности поля сферы, бесконечной цилиндрической поверхности и нити, несущих равномерно распределенный заряд.
Рассмотрим поле, создаваемое сферической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью . Это поле обладает центральной симметрией. Это означает, что направление вектора в любой точке проходит через центр сферы, а значение напряженности является функцией расстояния r от центра сферы (рис. 2.17). Найдем напряженность поля, созданную заряженной сферой в точках А и В. Через точки А и В проведем сферические поверхности и найдем поток вектора напряженности через эти поверхности.
Точка В находится внутри заряженной сферической поверхности, на расстоянии r от центра (r<R). Сферическая поверхность, проведенная через эту точку, не будет содержать внутри заряда. Следовательно, по теореме Гаусса , напряженность в точке В будет равна нулю. Е=0 (r<R) (рис. 2.17).Найдем напряженность поля, созданного заряженной сферической поверхностью в точке А, находящейся на расстоянии r от центра сферы. Окружим заряженное тело замкнутой сферической поверхностью, радиуса r, проходящей через точку А (рис. 2.17).
Для всех точек этой поверхности . Внутрь поверхности попадает весь заряд q, создающий рассматриваемое поле. Следовательно, (так как ).
Таким образом, напряженность поля в точках, расположенных на расстоянии r>R, равна
Поле вне заряженной сферической поверхности имеет такой же вид, как поле точечного заряда q, находящегося на расстоянии r от точки А. Если известна поверхностная плотность заряда σ, то , подставив в (8), получим
.
Рассчитаем напряженность поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром радиуса R, заряженным с поверхностной плотностью в точке А, отстоящей на расстояния r от оси цилиндра. Из соображений симметрии следует, что напряженность в любой точке направлена вдоль радиальной прямой, перпендикулярной к оси цилиндра, а значение напряженности зависит лишь от расстояния r от цилиндра. Вырежем из бесконечно длинного цилиндра элемент длиной h. Окружим этот элемент цилиндрической поверхностью (коаксиальной с заряженной) радиуса r, так, чтобы эта поверхность проходила через точку А (рис. 2.15). Для оснований внешнего цилиндра , для боковой поверхности (заряд считаем положительным) . Силовые линии поля пересекают только боковую поверхность цилиндра радиуса r. Следовательно, поток вектора через эту замкнутую поверхность будет равен . Если внутрь поверхности попадает заряд , где –поверхностная плотность заряда. Применяя теорему Гаусса, получаем:
, , откуда . (5)
Если , рассматриваемая замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, вследствие чего . Таким образом, внутри заряженной цилиндрической поверхности поле отсутствует.
Если радиус цилиндра , а заряд распределяется по длине цилиндра с линейной плотностью τ. Тогда можно формулу (17) преобразовать:
Тогда