ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«Московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
Факультет кибернетики
Курсовая работа по материаловедению
«Фракталы»
Выполнили:
студенты гр. КС-71-10
Салтыков Егор
Лытенкова Дарья
Проверил:
Смирнов Александр Николаевич
Москва
2011-2012
Содержание:
Введение.
Определение фракталов.
Из истории изучения фракталов.
Классификация фракталов.
Геометрические фракталы.
Алгебраические фракталы.
Стохастические фракталы.
Фракталовые деревья.
Измерение тел.
Дробная размерность.
Практический расчет размерности.
Чем актуальны фракталы.
Вывод.
Введение
В данной курсовой работе рассматриваются основные вопросы, связанные с фракталами, такие как определение фракталов, их размерность, применение, а также история открытия.
В качестве примера приведен расчет размерности фрактала дистиллированной воды. При расчете был использован калькулятор размерности, так же приведены некоторые общие сведения о фракталах.
Фракталами называют бесконечно самоподобные фигуры, каждый фрагмент которых повторяется при уменьшении масштаба. Разветвления трубочек трахей, нейроны, сосудистая система человека, извилины берегов морей и озер, контуры деревьев — это все фракталы. Фракталы находят в местах таких малых, как клеточная мембрана, и таких огромных, как звездные галактики. Можно сказать, что фракталы – это уникальные объекты, порожденные непредсказуемыми движениями хаотического мира!
Из истории изучения фракталов
Термин «фрактал» был введен Б.Мандельбротом в 1975 г.. Согласно Мандельброту, фракталом (от лат. «fractus» - дробный, ломанный, разбитый) называется структура, состоящая из частей, подобных целому. Свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов классической геометрии. Термин самоподобие означает наличие тонкой, повторяющийся структуры, как на самых малых масштабах объекта, так и в макромасштабе.
История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса – самые наглядные, потому что в них сразу видно самоподобие. Примерами таких фракталов служат: кривые Коха, Леви, Минковского, треугольник Серпинского, губка Менгера, дерево Пифагора (Рис.1) и др. С математической точки зрения, фрактал - это, прежде всего, множество с дробной (промежуточной, «не целой») размерностью. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная кривая выходит за пределы одномерного пространства, вторгается за границы в двумерное пространство. Таким образом, фрактальная размерность кривой Коха будет находиться между 1 и 2. Это, прежде всего, означает, что у фрактального объекта невозможно точно измерить его длину!
Существует множество классификаций фракталов. Принято различать регулярные и нерегулярные фракталы, из которых первые являются плодом воображения (математическая абстракция), подобным снежинке Коха или треугольнику Серпинского, а вторые - продуктом природы или деятельности человека. Нерегулярные фракталы (рис.2) в отличие от регулярных сохраняют способность к самоподобию в ограниченных пределах, определяемых реальными размерами системы.
Фракталы находят все большее и большее применение в науке и технике. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика. Можно до бесконечности приводить примеры фрактальных объектов в природе, - это и облака, и хлопья снега, и горы, и вспышка молнии, и наконец, цветная капуста. Фрактал как природный объект - это вечное непрерывное движение, новое становление и развитие.
Кроме того, фракталы находят применение в децентрализованных компьютерных сетях и «фрактальных антеннах». Весьма интересны и перспективны для моделирования различных стохастических (не детерминированных) «случайных» процессов, так называемые «броуновские фракталы». В случае нанотехнологии фракталы тоже играют важную роль, поскольку из-за своей иерархической самоорганизации многие наносистемы обладают нецелочисленной размерностью, то есть являются по своей геометрической, физико-химической или функциональной природе фракталами. Например, ярким примером химических фрактальных систем являются молекулы «дендримеров». Кроме того, принцип фрактальности (самоподобной, скейлинговой структуры) является отражением иерархичности строения системы и поэтому является более общим и универсальным, чем стандартные подходы к описанию строения и свойств наносистем.
Классификация фракталов
•Алгебраические фракталы
•Множество Мандельброта
•Множество Жюлиа
•Бассейны (фракталы) Ньютона
•Биоморфы
•Треугольники Серпинского
•Геометрические фракталы
•Кривая Коха (снежинка Коха)
•Кривая Леви
•Кривая Гильберта
•Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя)
•Множество Кантора
•Треугольник Серпинского
•Ковёр Серпинского
•Дерево Пифагора
•Круговой фрактал
•Стохастические фракталы
•Рукотворные фракталы
•Природные фракталы
•Детерминированные фракталы
•Недетерминированные фракталы
Геометрические фракталы
Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.
Рассмотренная выше кривая Пеано является геометрическим фракталом.
Классические примеры геометрических фракталов - Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского).