3. Основные допущения и методы исследования устойчивости упругих сил

При исследовании устойчивости применительно к рамам и балкам вводится ряд допущений, которые существенно упрощают определение критических сил. В частности, предполагается, что нагрузка приложена только к узлам таким образом, что она не вызывает поперечного изгиба стержней. Соотношения между узловыми нагрузками должны быть заданы. Сами стержни считаются идеально прямыми, а также нерастяжимыми и несжимаемыми.

Существуют три метода исследования устойчивости упругих систем:

1. динамический метод основан на критерии А.М.Ляпунова для устойчивых и неустойчивых состояний равновесия;

2. энергетический метод основан на рассмотрении изменения полной потенциальной энергии системы при действии на неё любых малых возмущений;

3. статический метод исходит из определения критической нагрузки как наименьшей нагрузки, способной удержать систему в отклоненном состоянии.

К статическому методу относится также метод сил и метод перемещений, широко применяемые при расчете на устойчивость рам и неразрезных балок. Правда, метод сил в задачах устойчивости имеет ряд ограничений и применяется достаточно редко. В то время как метод перемещений является универсальным при определении критических сил.

II. Устойчивость прямых сжатых стержней

1. Упругие стержни постоянного сечения с жёсткими опорами

Такие стержни рассматривались в курсе сопротивления материалов. Значение критической силы существенно зависит от способа закрепления концов стержня. Во всех случаях величина критической силы

, где v – параметр критической силы

Приводим таблицу критических сил для различных закреплений концов стержня.

2. Упругие стержни с упругими опорами

Ввиду ограниченного объема настоящего методического пособия эта тема не рассматривается. Отметим только, что методика определения критической силы путем выделения из рамы стержня с упругими опорами применима лишь в том случае, когда в рассматриваемой раме загружен только один стержень.

Например:

Уравнение устойчивости:

Вид уравнения зависит от характера закрепления концов стержня.

Пружина в развёрнутом виде:

	(жесткость пружины)

III. Устойчивость рам и балок

1. Расчет рам на устойчивость методом перемещений

Как было отмечено ранее, метод перемещений является универсальным методом расчета на устойчивость. При этом вводится ряд дополнительных допущений, например, не учитывается сближение концов стержней при их изгибе, а продольные деформации считаются равными нулю.

Ход расчета на устойчивость методом перемещений тот же, что и при расчете на прочность.

Устанавливается степень кинематической неопределимости системы и формируется основная система путем введения дополнительных связей, препятствующих возможным угловым и линейным смещениям узлов заданной системы.

Записывается система канонических уравнений, физический смысл которых остаётся обычным. Отличие в том, что основные неизвестные являются малыми смещениями узлов, возникающими при потере устойчивости. Поскольку на раму действует узловая нагрузка, то в нагруженных элементах возникают лишь продольные усилия, а реактивные усилия в дополнительно введённых связях от внешней нагрузки до момента потери устойчивости равны нулю. Канонические уравнения метода перемещений превращаются в однородные линейные уравнения вида:

Поскольку при решении задач устойчивости рассматривается деформированное состояние системы, которую мы доводим до потери устойчивости, то неизвестные . Следовательно, уравнения будут удовлетворяться при условии, когда определитель из коэффициентов равен нулю, т.е.

D=

Раскрывая определитель, получаем уравнение устойчивости метода перемещений в развернутом виде.

При nk=1 уравнение устойчивости:

r11=0

При n_k=2

Для определения реактивных усилий r_ik наложенным связям даются смещения и строятся эпюры . При этом для стержней, не несущих сжимающих нагрузок, можно пользоваться обычными таблицами метода перемещений, приведенными в основном курсе строительной механики. Эпюры моментов на сжатых стержнях имеют криволинейное очертание, а их ординаты содержат в виде множителей функции параметра v критической силы. Всего имеется шесть таких функций:

, , , , и .

Например, ; и т.д.

Параметр v и его шесть функций вводится в расчет для того, чтобы уравнения устойчивости в численном виде имели более лаконичный вид. Все функции и табулированы при различных значениях v (от 0 до 2π) и приведены в любой литературе по устойчивости.

В зависимости от конкретной задачи уравнение устойчивости решается однозначно или путём пробных попыток относительно параметров v_i для загруженных стержней. Целесообразно все параметры v_i выразить через один параметр v и упростить исходные уравнения. После определения параметра v определяют критическую силу по формуле Эйлера .

Таблица изгибающих моментов и реакций опор в сжатых стержнях от единичных перемещений