Алгоритм приведения формулы к днф.

1. Выразить все логические операции, участвующие в построении формулы, через дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, используя эквивалентности

~

~

и определения операций:

штрих Шеффера (антиконъюнкция) ,

стрелки Пирса (антидизъюнкция)

сумма по модулю два (антиэквивалентность) .

2. Используя законы де Моргана, переносим все отрицания к переменным и сокращаем двойные отрицания по правилу

~ φ

3. Используя закон дистрибутивности

~ ,

преобразуем формулу так, чтобы все конъюнкции выполнялись раньше дизъюнкций. В результате применения пп. 1-3 получается ДНФ данной формулы.

Пример 6. Привести к ДНФ формулу .

Решение. Выразим логические операции и через , и :

φ ~ ~ ~ .

В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:

φ ~ ~ ~ .

Используя закон дистрибутивности, приводим формулу к ДНФ:

φ ~ .

Приведение формулы к КНФ производится аналогично приведению ее к ДНФ, только вместо п. 3 применяется пункт

3'. Используя закон дистрибутивности ~ , преобразуем формулу так, чтобы все дизъюнкции выполнялись раньше, чем конъюнкции.

Пример 6. Привести к КНФ формулу ,

Решение. Преобразуем формулу φ к формуле, не содержащей :

φ ~ ~

В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания: φ ~ ~

По закону дистрибутивности получаем, что формула φ эквивалентна формуле

φ ~ ,

являющейся КНФ.

Упростим полученную формулу:

1) используем закон дистрибутивности

~

2) используем закон эквивалентность φ φ₀ ~ φ,

~

3) используем закон поглощения

~ .

Таким образом, формула φ из примера 6.1.1 эквивалентными преобразованиями приводится к формуле (являющейся одновременно ДНФ и КНФ формулы φ).

~ ~ ~

Построить таблицу истинности

Любая булева функция может иметь бесконечно много представлений в виде ДНФ и КНФ. Особое место среди этих представлений занимают совершенные ДНФ (СДНФ) и совершенные КНФ (СКНФ).

Совершенные днф (сднф) и кнф (скнф).

Пусть (x₁,..., x_n) — набор логических переменных, Δ = (δ₁,,.., δ_п) — набор нулей и единиц.

Конституентой единицы набора Δ называется конъюнкт K¹(δ₁ ... δ_п) = .

Конституентой нуля набора Δ называется дизъюнкт K⁰(δ₁ … δ_п) = .

Отметим, что K¹(δ₁ ... δ_п) = 1, а K⁰(δ₁ … δ_п) = 0 тогда и только тогда, когда х₁ = δ₁, х₂ = δ₂, х_n = δ_n.

Совершенной ДНФ называется дизъюнкция некоторых конституент единицы, среди которых нет одинаковых.

Совершенной КНФ называется конъюнкция некоторых конституент нуля, среди которых нет одинаковых.

Таким образом, СДНФ (СКНФ) есть ДНФ (КНФ), в которой в каждый конъюнкт (дизъюнкт) каждая переменная х_i из набора {x₁,..., x_n} входит ровно один раз, причем входит либо сама х_i, либо ее отрицание .

Пример 7. Формула есть конституента единицы К¹(1,0,1).

Формула есть конституента нуля К⁰(0,0,1).

Формула — СДНФ.

Формула — СКНФ.

Формула не является СДНФ.

Для решения задачи нахождения СДНФ и СКНФ, эквивалентных исходной формуле φ, предварительно рассмотрим разложения булевой функции f(x₁, х₂,...,x_п) по k; переменным (для определенности по x₁, х₂,...,x_k) — разложения Шеннона.

Теорема (первая теорема Шеннона). Любая булева функция f(x₁, х₂,...,x_п) представима в виде разложения Шеннона:

Доказательство. Прежде всего, заметим, что . Подставим произвольно вместо первых k переменных их значения: . Тогда левая часть доказываемой формулы равна Правая часть представляет собой дизъюнкцию 2^k конъюнкций вида , которые этой подстановкой разбиваются на два класса. К первому классу относится конъюнкция, у которой набор (δ₁, δ₂,...,δ_k) совпадает с набором :

=

= 1 1 ... 1 =

Эта конъюнкция равна левой части формулы. Ко второму классу относится 2^k-1 конъюнкций, у каждой из которых хотя бы в одной переменной x_i, выполнено условие . Следовательно, каждая из них равна нулю. Используя закон , получаем, что левая и правая части формул равны при любой подстановке переменных x₁, x₂..., x_n.

В силу принципа двойственности для булевых алгебр справедлива

Теорема 6.4.3 (вторая теорема Шеннона). Любая булева функция f(x₁, х₂,...,x_п) представима в виде разложения Шеннона:

В предельном случае, когда k = n, для булевой функции f(x₁, х₂,...,x_п), не равной нулю, получаем ее представление в виде совершенной ДНФ:

Аналогично для булевой функции f(x₁, х₂,...,x_п), не равной единице, получаем ее представление в виде совершенной КНФ:

Приведенные формулы позволяют сформулировать следующую теорему о функциональной полноте.