1. Порівняльний аналіз механіки Ньютона, Лагранжа, Гамільтона

В основі механіки Ньютона лежать так звані закони Ньютона:

1. Існують такі системи відліку(СВ) в яких будь-яке тіло знаходиться у стані спокою або рівномірного і прямолінійного руху такі системи відліку називаються інерціальними(ІСВ).

2. В інерціальних СВ (ІСВ) добуток маси матеріальної точки на її прискорення дорівнює діючий на неї силі :

, де - імпульс тіла.

3. Сили з якими дві матеріальні точки діють одна на одну, завжди рівні по модулю і направлені в протилежні сторони вздовж прямої, що з’єднує ці точки:

Для опису системи з N частинок з масами і радіус-векторами необхідно записати II закон Ньютона: (1) - система 3N рівняннь;

Для повного розв’язку задачі потрібно задати її механічний стан тобто набір всіх координат і швидкостей в початковий момент часу t_o: (2)

Механічний принцип причинності: по заданих силах і початковому стані системи (2) можна за допомогою рівнянь Ньютона (1) знайти стан системи в довільний момент часу t.

В сього 3N рівнянь для розв’язку потрібно 6N невідомих.

В загальному випадку система має не більше 10-ти інтегралів руху, решта 6N-10 – не є однозначними функціями. Отже порядок рівнянь не можна понизити більше ніж на 10 одиниць.

Ми можемо інтегрувати до квадратур задачи 1-ого та 2-ох тіл (диференційні рівняння 2-ого порядку).

Траєкторія може бути фінітною або інфінітною (інфінітні – розсіяння; падіння на центр не фізичні).

Лише два потенціали допускають періодичні траєкторії: кулонівський U=/, потенціал Гука U=k²/2.

Основні поняття механіки Ньютона-Ейлера:

Матеріальна точка – АТТ

Радіус-вектор – кути Ейлера

Швидкість – кутова швидкість

Розв’язком є залежність механічного стану )координати швидкості) від часу і початкових умов.

Клас задач які розвязує механіка Ньютона:

1.рух ТТ;2.задача двох тіл.

Аби розширити клас розвязування задач Ньютона переходять до формалізму Лагранжа:

Формалізм Лагранжа.

Основні поняття : узагальнена координата , узагальнена швидкість , ступінь вільності.

Практично важливий математичний метод – метод циклічної змінної (найшвидше дає відповідь на питання про інтегрування задачі в квадратурах.

Особливості: 1) повністю відсутнє питання про систему відліку;

1. принципово новий крок до характеристики взаємодії ступенів свободи, вони описуються енергією взаємодії, тобто таким доданком, який залежить від координат і швидкостей різних степенів свободи.

рівняння Лагранжа

Схема методу циклічної координати:

q_c:

Клас розв’язуваних задач дуже широкий: рух дзиги, терія малих гармонічних коливань.

Розв’язок – залежність узагальнених координат від часу. В загальному випадку (рівняння Лагранжа 2-го роду-це рівняння першого порядку-перевага): , де Q_i – характеризують неконсервативні сили (наприклад сила тертя).

Звідки можна отримати, що . У цьому рівнянні для N матеріальних точок індекс і відповідає кожній ступені свободи та пробігає значення , де , а - кількість зв’язків, що накладені на систему.Кількість рівнянь дорівнює кількості ступенів вільності .

Функція Лагранжа: (скалярна величина), для мех.Ньютона потрібно робити проекційні маніпуляції тут такого робити не потрібно ще одна перевага!!

Одна з переваг варіаційного підходу – в ньому відсутні фізичні величини, пов”язані з конкретною системою координат; ми оперуємо кінетичною та потенційною енергією; варіаційний принцип інваріантний відносно перетворень системи координат. Кількість інтегралів руху:

Немає сил; вся інформація знаходиться у формулі Лагранжа. Функція Лагранжа L визначена з точністю до довільної повної похідної по часу від довільної функції.

Клас задач які розвязує механіка Лагранжа:

1. задача двох тіл

2. динаміка АТТ(дзига)

3. задача малих коливань

Формалізм Гамільтона.

L= - Лагранжіан. Для розв”язку задачі необхідно записати рівняння Лагранжа, виділити інтеграл руху і розв”язати відповідні рівняння Лагр. 2-го роду, які є диференц. рівн. 2-го порядку, тобто містять .

Якщо перейти до функції Н (ф-ія Гамільтона): , то тоді отримаємо, що Н=Н(р_і,q_i,t). Тобто ф-ія Гамільтона залежить від узаг. координат, узагальн. імпульсів та часу. Якщо , то Н=Е (Е – енергія системи), тоді .

Канонічні рівняння Гамільтона:

За допомогою формалізму Гамільтона ми понижуємо порядок системи диференційних рівняннь до першого порядка, але кількість рівнянь збільшується.

Функція Гамільтона дозволяє описувати середовища з нескінченою кількістю ступенів свободи, 

Маємо систему диференційних рівнянь 1-ого порядку, які можна розв’язати.

Особливість: за допомогою канонічних перетворень можна перейти до інших змінних Q_i ,P_i та з іншим гамільтоніаном, що спрощує інтегрування.

Переваги:

1. рівняння Гамільтона інтегруються легко

2. двічі більше інтегралів руху

3. є вихід на диференційні рівняння 2-порядку-f штук.