Тема №6. Усилия на лопатках и работа вращения колеса ступени. Теорема Эйлера
Вывод уравнений для расчета усилий, действующих на лопатку, проведем для ступени осевого турбокомпрессора, а затем преобразуем полученные результаты применительно к турбинной ступени.
Выделим малый по высоте участок степени
.
Этот участок принято называть элементарной
ступенью.
Изобразим развертку РК элементарной ступени (рис. 6.1).
При известных параметрах потока силы, действующие на лопатки, и работа, затрачиваемая на его вращение, могут быть определены с помощью теоремы Эйлера в предположении установившегося движения.
Выделим в потоке объем, ограниченный
контрольной плоскостью, состоящей из
поверхностей тока
и
,
отстоящих друг от друга на величину
шага решетки
,
и двух поверхностей
и
,
параллельных фронту решетки и расположенных
на таком расстоянии, чтобы было можно
пренебречь неравномерностью потока.
Обозначим
и
окружную и осевую
составляющие аэродинамической силы
,
действующей на лопатку. Сила
,
с которой лопатка воздействует на поток,
равна по величине и противоположна по
направлению силе
.
Согласно теореме Эйлера, сумма всех сил, действующих на выделенный объем воздуха, равна разности количеств движения потоков, вытекающих и втекающих этот объем в единицу времени.
Рис. 6.1. К определению усилий на лопатках рабочего колеса
Из рассмотрения рис. 6.1 понятно, что силы, действующие на поверхностях и , компенсируют друг друга, а расход через них равен нулю.
Исходя из этого, кроме силы
,
учету будут подлежать только количества
движения и силы давления в сечениях
и
.
Рассматривая проекции этих сил в окружном и осевом направлениях, можно получить:
(6.1)
где
массовый расход
через выделенный объем,
.
Согласно уравнению неразрывности:
(6.2)
Если число лопаток колеса равно
,
то
.
(6.3)
Тогда силы, действующие на единицу длины лопатки, будут равны:
(6.4)
Эти соотношения используются при расчетах лопаток компрессоров на прочность.
В предположении, что
(идеальная несжимаемая жидкость) для
относительного движения, из уравнения
Бернулли (1.12) можно получить:
(6.5)
или
.
(6.6)
Кроме того, из (6.4), с учетом (6.5) и (6.6), можно легко получить:
(6.7)
Зная проекции силы, можно найти и ее суммарную величину:
,
(6.8)
где величина
циркуляция скорости
вокруг одного профиля в решетке.
Отношение же составляющей этой силы:
(6.9)
получило название теоремы Жуковского о подъемной силе крыла.
Из теоремы Жуковского следует, что теоретически подъемная сила будет увеличиваться с ростом угла поворота потока в решетке.
Однако в реальности, как мы уже говорили, большой угол поворота потока приведет к его срыву с профиля.
Определим работу
,
затрачиваемую на вращение элементарной
ступени, в расчете на 1 кг/с массового
расхода.
Если окружная скорость рабочего колеса
,
то секундная работа вращения лопатки
будет равна
,
что ясно из физики.
Тогда
.
(6.10)
Таким образом, работа вращения колеса пропорциональна окружной скорости и закрутке воздуха в колесе.
При условии, что
:
(6.11)
или
.
(6.12)
При переходе от ступени осевого компрессора к турбинной ступени по причине других кинематических соотношений формулы примут несколько иной вид.
Мощность, развиваемая потоком рабочего тела на рабочих лопатках ступени, может быть найдена по формуле:
,
где
-- удельная работа ступени, т.е. мощность,
приходящаяся на каждые 1 кг/с массового
расхода.
Можно также показать, что
.