Префиксы и суффиксы строки

Строка X называется префиксом строки S, если строка S представима как XY. Строка Y называется суффиксом строки S. В листинге 9.6. расположена программа, которая содержит две процедуры. Одна процедура по заданной строке выводит все префиксы этой строки, причем каждый префикс выводится с отдельной строки выходного файла. Вторая процедура выводит все суффиксы строки. В процедурах используется стандартная функция copy (s,n,i),которая возвращает подстроку строки s, начиная с символа номер n, состоящую из i символов.

Прямые переходы

Пусть в нашем автомате пока одно состояние —  . Пройдем по образцу, добавляя для каждого его символа новое состояние и переход в него из предыдущего состояния по этому символу. Последнее состояние объявим допускающим. Таким образом, каждому состоянию теперь соответствует ровно один префикс образца. Пронумеруем их длинами соответствующих префиксов с увеличением на единицу.

[Править]Суффиксные ссылки

Теперь нужно расставить остальные переходы. В итоговом автомате при переходе в состояние   префикс образца —   — должен быть максимальным его префиксом, равным суффиксу текста до последнего просмотренного символа, включительно. Переходы, осуществляющие перемещение в такие префиксы, называют суффиксными ссылками.

В качестве базы построения суффиксных ссылок проведем из   по всем символам алфавита, кроме первого символа образца, ссылки в  : длина максимального текущего суффикса текста, равного префиксу образца, увеличивается максимум на один и только в том случае, когда очередные их символы совпадают. Пусть построены все переходы из состояний, номер которых меньше некоторого  . Тогда для того, чтобы определить направление ссылки из состояния   по символу  , нужно найти длину наибольшего префикса образца, из состояния которого по   ведет прямой переход (если таких префиксов нет, значит, символ прежде не встречался в образце — нужно перейти в  ).Префикс-функция, взятая многократно от   символа образца, позволяет перебрать все префиксы образца, равные суффиксу его первых   символов. Таким образом,  , где справа описан прямой переход либо переход из  . Так как все переходы из первых   состояний уже построены,   соответствует нужному состоянию.

Если забыть про разницу в построении прямых переходов и суффиксных ссылок, можно заметить, что переходы   решают поставленную задачу нахождения максимального суффикса текста, равного префиксу образца.

Основные определения и описание структуры[править | править вики-текст]

 — непустое конечное множество символов, называемое алфавитом. Последовательность символов (возможно, пустая) из алфавита обозначается буквами r, s и t.   представляет собой перевёрнутую строку. Отдельные символы обозначаются буквами x, y или z.   — пустая строка. Символами из алфавита являются буквы a, b, …. Пока размер алфавита принимается постоянным. |t| обозначает длину строки t.   — все строки длины m,   и  .

Префикс w строки t — строка такая, что wv = t для некоторой (возможно, пустой) строки v. Префикс называется собственным, если |v|   0.

Суффикс w строки t — строка такая, что vw = t для некоторой (возможно, пустой) строки v. Суффикс называется собственным, если |v|   0. Например, для строки «substring» подстрока «sub» является собственным префиксом, «ring» — собственным суффиксом.

Подстрока w строки t называется правым ветвлением, если t может быть представлена как   и   для некоторых строк   и  , а также букв x   y. Левое ветвление определяется аналогично. Например, для «eabceeabcd» подстрока «abc» является правым ветвлением, так как в обоих её вхождениях в t справа от неё стоят различные символы, зато та же подстрока не является левым ветвлением, потому что слева от неё в обоих вхождениях стоит одинаковый символ «e».

-дерево T — корневое дерево с рёбрами, помеченными последовательностями из  . Для каждого символа a из алфавита каждый узел в дереве Tимеет не более одного ребра, метка которого начинается c символа a. Ребро от t до s с меткой v мы будем обозначать  .

Пусть k — узел  -дерева T, тогда path(k) — строка, которая представляет собой конкатенацию всех меток рёбер от корня до k. Мы назовем  местоположением w, для которого path( ) = w.

Так как каждая ветвь уникальна, если path(t) = w, мы можем обозначить узел t за  . Поддерево узла   обозначается  .

Слова, которые представлены в  -дереве T, задаются множеством, которое обозначается words(T). Слово w входит во множество words(T) тогда и только тогда, когда существует строка v (возможно, пустая) такая, что   — узел дерева T.

Если строка w входит в words(T), w = uv,   — узел дерева T, пару   будем называть ссылочной парой w по отношению к дереву T. Если u — наидлиннейший префикс такой, что   — ссылочная пара, мы будем называть   канонической ссылочной парой. Тогда мы будем писать  . Местоположение   называется явным, если |v| = 0, и неявным в противном случае.

-дерево T, в котором каждое ребро помечено одиночным символом, называется атомарным (для него каждое местоположение является явным).  -дерево T, в котором каждый узел является либо корнем, либо листом или узлом ветвления, называется компактным.

Атомарное  -дерево также называют   (луч). Атомарное и компактное  -дерево однозначно определены словами, которые они содержат.

Суффиксное дерево для строки t — это  -дерево такое, что words(T) = {w| w — подслово t}. Для строки t атомарное суффиксное дерево обозначается ast(t), компактное суффиксное дерево обозначается cst(t).

Обратное префиксное дерево строки t — это суффиксное дерево для строки  .

Вложенный суффикс — суффикс, который входит в строку t где-нибудь ещё. Наидлиннейший вложенный суффикс называется активным суффиксомстроки t.