25) Ознака збіжності степеневого ряду

Теорема Абеля. Якщо степеневий ряд збігається в точці  , то він збігається абсолютно в інтервалі

Якщо степеневий ряд розбіжний в точці , то він буде розбіжний для всіх   , що задовольняють умову

Число  називають радіусом збіжності степеневого ряду, а проміжок  - інтервалом збіжності (областю збіжності).Якщо всі коефіцієнти ряду ненульові, то радіус збіжності рівний наступній границі

при умові, що вона існує (скінченна чи нескінченна).

Для рядів вигляду

радіус збіжності визначається за формулою  , проте інтервал збіжності з нерівності

Теорема не дає відповіді про збіжність на кінцях інтервалу, тому їх слід перевіряти окремо за відомими ознаками збіжності.

Розглянемо приклади на знаходження області збіжності степеневого ряду.

26) Ряд Тейлора та Маклоренна

Рядом Тейлора для функції  при умові, що вона визначена в околі точки  , а також має в ній скінченні похідні будь-якого порядку називається ряд вигляду

Нехай

тоді формула Тейлора має вигляд

 називають залишковим членом формули Тейлора.

Нескінченно диференційовна функція   на інтервалі   розкладається в ряд Тейлора лише у випадках, коли на цьому інтервалі виконується умова

.

При   формула Тейлора перетворюється в ряд Маклорена:

27) Розклад елементарних функцій в ряд Маклорена

28)Ряд Фур’є для періодичної функції з періодом 2π

Тригонометричним рядом Фур’є (рядом Фур’є) 2- періодичної функції f x( ) на проміжку ; [  ] називають тригонометричний ряд

1)

коефіцієнти якого обчислюються за формулами

2)

3)

4)

Числа 0 , , , n n a a b які задаються формулами (2) — (4), називають коефіцієнтами Фур’є.

В даному випадку записують:

Такий запис означає лише, що функції f x( ) відповідає ряд Фур’є.

29) Ряд Фур’є для періодичної функції з періодом 2l

Розглянемо задачу розвинення в ряд Фур’є 2l - періодичної функції f x( ), яка задана на відрізку,[-l;l] де l — деяке додатне число.

Запровадимо заміну . Тоді функція буде2π –періодичною функцією:

І її можна розвинути на проміжку [-π;π] в ряд Фур'є :

,

Де

Повертаючись до змінної x , дістанемо ряд Фур’є для 2l - періодичної функції f(x) на проміжку [-l;l];

1)

2)

3)

4)

Формули (28.2) — (28.4) співпадають з формулами (29.2) — (29.4) при l  .

30) Ряд Фур’є для парної періодичної функції з періодом 2π

Нехай f(x) - парна функція з періодом 2L , що задовольняє умові f(-x) = f(x) .

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

, де 

Таким чином, в ряді Фур'є для парної функції відсутні члени з синусами, і ряд Фур'є для парної функції з періодом  виглядає так:

31) Ряд Фур’є для непарної періодичної функції з періодом 2π

Нехай тепер   — непарна функція з періодом  , що задовольняє умові  .

Тоді для коефіцієнтів її ряду Фур'є знаходимо формули:

, де 

Таким чином, в ряді Фур'є для непарної функції відсутній вільний член і члени з косинусами, і ряд Фур'є для непарної функції з періодом   виглядає так:

Якщо функція   розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на проміжку   то

,

де 

Якщо   розкладається в тригонометричний ряд Фур'є на  , то довизначивши задану функцію  відповідним чином на  ; після чого періодично продовживши на  , отримаємо нову функцію, яку розкладаємо в новий ряд Фур'є.

Для розкладу в ряд Фур'є неперіодичної функції, заданої на кінцевому довільному проміжку  , треба: довизначити  і періодично продовжити, або довизначити на   і періодично продовжити.