10). Загальний інтеграл звичайного диференціального рівняння

F (x, в, у''..., в ⁽ⁿ⁾ ) =0

— співвідношення

F( х, в, C ₁ ..., C _n )=0,

 що містить і істотних довільних постійних C ₁ ..., C _n , наслідком якого є дане диференціальне рівняння (див.Диференціальні рівняння ). Іншими словами, це рівняння має бути результатом виключення постійних C ₁ ( i = 1..., n ) з рівнянь:

 , (*)

  причому ці постійні істотні в тому сенсі, що процес виключення їх з системи (*) не може привести до диференціального рівняння, відмінного від даного. О. і. тісно пов'язаний з загальним вирішенням . Якщо постійним C _i , вхідним в О. і., дати певні значення, то отримаємо частий інтеграл. Неповне виключення постійних C _i з системи (*) приводить до проміжного інтеграла

  F _до ( х, в, у''..., в ^( n-до ) ), C ₁ ..., C _до = 0

  (де 1 £ до  £ n— 1); зокрема, при до = 1— до першому інтегралу . Геометрично О. і. представляє n -параметрічеськоє сімейство інтегральних кривих.

Диференціальним рівнянням з частинними похідними називається рівняння виду

де F — задана дійсна функція точки   області D евклідового простору   і дійсних змінних  (u(x) - невідома функція) з невід'ємними цілочисловими індексами   і принаймні одна з похідних функції F по змінній, що відповідає найвищому порядку часткових похідних, відмінна від нуля; натуральне число m називається порядком рівняння. Визначена у області Dзадання рівнянням функція u(x), неперервна разом з своїми частинними похідними, що входять в це рівняння, і що обертає його в тотожність, називається регулярним розв'язком. Разом з регулярними розв'язками в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними важливе значення мають розв'язки, що перестають бути регулярними поблизу ізольованих точок або многовидів особливого вигляду: до них відносяться зокрема, елементарні (фундаментальні) розв'язки. Вони дозволяють будувати широкі класи регулярних розв'язків (так званих потенціалів) і встановлювати їх структурні і якісні властивості.

У випадку неперервності часткових похідних F відносно змінних   (тобто відносно часткових похідних найвищого порядку), важливе значення відіграє форма порядку m:

Дана форма називається характеристичною формою, що відповідає рівнянню з частинними похідними.

11) Др з відокремленими змінними, др зі змінними що відокремлюються.

У цьому рівнянні коефіцієнтом при dx є функція, яка залежить лише від х або стала величина, а коефіцієнт при dy - функція, яка залежить лише від у або стала величина.

Загальний розв’язок рівняння з відокремленими змінними зна-ходять за формулою

\N(x)dx + \M(y)dy = С,          (13)

тобто шляхом його інтегрування.

Дійсно, ліву частину формули (12) можна розуміти як повний

диференціал деякої функції Uyx,yj, тобто

d~U{x,y) = N[x)dx + M [y)dy. Тоді рівняння (12) буде мати вигляд:

dU(x,y) = 0^U(x,y) є стала. Інтегруючи що рівність та використовуючи властивість невизначе-

ного інтеграла \dll = U + С, одержимо \N(x)dx+ \M(y)dy = С, що й треба було довести.

12) Однорідні др першого порядку

 звичайне диференціальне рівняння, в яке невідома функція та її похіднівходять лінійно, тобто рівняння вигляду

де   та   — функції, що залежать тільки від аргументу x.

Важливий підклас лінійних диференційних рівнянь складають лінійні диференційні рівняння зі сталими коефіцієнтами, для яких  .

Рівняння

називається однорідним лінійним диференційним рівнянням.

Однорідне диференційне рівняння n-го порядку має n лінійно незалежних розв'язків.

Якщо відомий хоча б один частковий розв'язок лінійного диференційного рівняння, то його загальний розв'язок є сумою часткового розв'язку та лінійної комбінації n розв'язків однорідного диференційного рівняння.