13) Лінійні др першого порядку

де диференціальний оператор L - лінійний оператор, у - невідома функція (наприклад, від часу  ), а функція праворуч - ƒ є даною функцією такого ж характеру, як у . Для такої функції ми можемо записати рівняння явно

і, навіть точніше,

Лінійний оператор можна розглядати у формі

Лінійність умови на L виключає такі операції, як піднесення до квадрату похідної від у, але дозволяє, наприклад, брати другу похідну у. Зручно переписати це рівняння в операторній формі

де D є диференціальним оператором д / д (тобто Dy = у ', D ² у = у ", ...), і _я - задані функції.

Таке рівняння має порядок п, індекс старшої похідної у, у рівнянні.

Типовим простим прикладом лінійного диференціального рівняння є, наприклад, те, що використовуються для моделювання радіоактивного розпаду. Нехай N (т) позначає число радіоактивних атомів в деякому зразку матеріалу у час t. Тоді для деякої сталої А> 0, кількість радіоактивних атомів, що розпадається, може бути записана як

Якщо у вважається функцією тільки однієї змінної, то говорять про звичайне диференціальне рівняння, в іншому разі похідні та їх коефіцієнти слід розуміти як вектори, матриці або тензори, тож одержимо (лінійне) рівняння в частинних похідних.

Випадок, коли ƒ = 0, називається однорідним рівнянням . Воно особливо важливе для розв'язання у загального випадку, оскільки його розв'язки можна додавати до розв'язку неоднорідного рівняння, щоб дістати інший розв'язок (методом часткового і однорідного розв'язків). Коли _я - це числа, рівняння,називається рівнянням зі сталими коефіцієнтами.

14) Рівняння Бернулі

1. Поділимо ліву і праву частини на 

2. Зробимо заміну

3. Розв'язуємо диференціальне рівняння

Його можна розв'язати за допомогою інтегрувального множника

15) Система лінійних ДР Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

називається лінійною неоднорідною системою диференціальних рівнянь. Система

називається лінійною однорідною системою диференціальних рівнянь. Якщо ввести векторні позначення

,  ,  ,

то лінійну неоднорідну систему можна переписати у вигляді

а лінійну однорідну систему у вигляді

.

Якщо функції  неперервні в околі точки  ,товиконані умови теореми існування та єдиності розв’язку задачі Коші, і існує єдиний розв’язок

системи рівнянь, що задовольняє початковим даним

1. Властивості розв’язків лінійних однорідних систем

Властивість 1. Якщо вектор є розв’язком лінійної однорідної системи, то і  , де  - стала скалярна величина, також є розв’язком цієї системи.

Дійсно, за умовою

.

Але тоді і

оскільки дорівнює нулю вираз в дужках. Тобто  є розв’язком однорідної системи.

16) Поняття числово ряду.Необхідна умова збіжності ряду.

Числовий ряд — ряд, елементами якого є числа.

Нехай   — деяка числова послідовність. Для кожного   визначена скінченна сума

Дві числові послідовності   та   називаються числовим рядом і позначаються

Число   називається n-тим членом, а число   — n-тою частковою сумою ряду

Якщо послідовність часткових сум   збігається до деякого числа   (див. Границя числової послідовності), то числовий ряд називається збіжним, а число   — називається сумою цього ряду, і позначається

.

Якщо ж скінченної границі не існує, то числовий ряд називається розбіжним.

.

Якщо послідовність часткових сум   збігається до деякого числа   (див. Границя числової послідовності), то числовий ряд називається збіжним, а число   — називається сумою цього ряду, і позначається

.

Якщо ж скінченної границі не існує, то числовий ряд називається розбіжним.