5 Пример решения задачи по теме «Анализ линейной цепи с сосредоточенными параметрами в установившемся режиме работы на синусоидальном токе»

Исходные данные:

r1 = 11 Oм ; L2 = 80 мГн; r2 = 11 Oм ; c1 = 300 мкФ;

r3 = 11 Oм ; c2 = 500 мкФ; L1 = 60 мГн ; w = 314 рад/с ; E_m = 40 В

Задание:

1. Определить токи и напряжения на элементах заданной схемы.

2. Провести баланс мощности.

3. Построить топографическую векторную диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

4. Определить показания приборов при условии , что амперметр и вольтметр электромагнитной системы.

5. Определить все резонансные частоты в схеме.

6. Провести расчет токов и напряжений в схеме для одной из резонансных частот.

7. Построить топографическую векторную диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов в режиме резонанса.

8. Построить АЧХ входного тока.

Рисунок 1

Решение.

1 На схеме обозначим условно положительные направления токов ветвей.

Для определения токов в данной схеме необходимо рассчитать входное сопротивление:

(Ом)

Зная входное сопротивление и напряжение источника ЭДС определим ток , протекающий через источник:

(В)

(А)

Зная ток неразветвленного участка цепи, можно определить токи параллельных ветвей:

(А)

(А)

Напряжения на элементах определим по закону Ома:

(В)

(В)

(В)

(В)

(В)

(В)

(В)

2 Проведем баланс мощности .

В цепи синусоидального тока баланс мощности может быть проведен по постоянной составляющей, реактивной составляющей и по полной мощности.

Так как задание не уточнено, проведем баланс по постоянной и по реактивной составляющей.

(ВА)

(Вт)

(Вар)

Равенство мощностей источника и нагрузки подтвердилось, поэтому можно утверждать, что баланс сошелся.

3. Топографическую векторную диаграмму в данной схеме удобно строить относительно параллельных ветвей (рисунок 2):

Рисунок 2 Топографическая векторная диаграмма напряжений

Рисунок 3 Векторная диаграмма токов для узла 1

4 Показания приборов заданной системы показывают действующее значение функций.

Амперметр реагирует на действующее значение тока, протекающего по второй ветви.

(А)

Вольтметр реагирует на действующее напряжение на реактивных элементах первой ветви.

(В)

Ваттметр показывает активную составляющую мощности, в данном случае на участке 12. Поэтому показания на ваттметре будут соответствовать мощности на резисторе r₃.

(Вт)

5

Рассмотрим все возможные резонансные контуры заданной схемы.

Первым рассмотрим последовательный контур на участке 13.

Рисунок 4

Резонанс напряжений в рассматриваемом последовательном контуре возможен при выполнении условия:

(рад/с)

Далее рассмотрим параллельный участок 12 , на котором возможен резонанс токов . Условие резонанса:

(рад/с)

Так как схема сложная, то возможен еще один резонанс напряжений на последовательном участке цепи 32. Условием его существования будет равенство реактивной составляющей сопротивления схемы нулю.

Запишем это уравнение подробнее.

Проведем некоторые преобразования уравнения:

Достаточным условием для решения уравнения будет равенство числителя выражения нулю, если привести выше записанное уравнение к общему знаменателю.

Уравнение имеет шестую степень, так как цепь содержит несколько реактивных элементов (конденсаторы и катушки индуктивности).

Решить данное уравнение, можно, если принять . Теперь уравнение примет вид:

Кубическое уравнение может быть решено двумя способами.

Первый способ: разложение левой части уравнения на линейные множители вида- ,

где a, b, c, d- действительные члены кубического уравнения,

- множество решений кубического уравнения.

Второй способ: применение формулы Кардано, которая имеет вид-

,

где

Если при решении используется пакет Mathcad , то решение кубического уравнения не составит трудности.

В результате решения будут получены шесть корней, которые могут быть либо действительными, либо комплексными.

Резонансной частоте соответствуют только положительные действительные корни, если таковых нет, то резонанс напряжений в сложном контуре невозможен.

Итак, приступим к решению:

Определяем корни приведенного уравнения:

Как уже было сказано, только действительные корни являются решением задачи. Для определения корня кубического уравнения- , используем соотношение

Переходя к кубическому уравнению, была использована замена:

Поэтому единственным решением уравнения шестой степени, приемлемым к условию задачи, является

(рад/с)

6 Расчет схемы в режиме резонанса проведем для частоты рад/с.

Для определения токов в данной схеме необходимо рассчитать входное сопротивление:

(Ом)

Зная входное сопротивление и напряжение источника ЭДС определим ток , протекающий через источник:

(В)

(А)

Зная ток неразветвленного участка цепи, можно определить токи параллельных ветвей:

(А)

(А)

Напряжения на элементах определим по закону Ома:

(В)

(В)

(В)

(В)

(В)

(В)

(В)

Проведем баланс мощности по активной и по реактивной составляющей.

(ВА)

(Вт)

(Вар)

Равенство мощностей источника и нагрузки подтвердилось, поэтому можно утверждать, что баланс выполняется.

Т опографическую векторную диаграмму в данной схеме удобно строить относительно параллельных ветвей:

Рисунок 5 Топографическая векторная диаграмма напряжений

Рисунок 6 Векторная диаграмма токов