1. Айналу бетінің ауданы. Айналу денесінің көлемі.

Конус.

• Конустың ауданы: S=𝝅Rl

Бұл жерде R-радиусы, l-ұзындығы.

• Конустың көлемі: V= 𝝅R²H

• Қиық конустың бүйір жағының ауданы S_b= 𝝅l(R+r), мұндағы l-қиық конустың жасаушысы, R және r сәйкес түрде табандарының радиустары.

• Толық бетінің ауданы бүйір бетінің ауданына қиық конустың жоғарғы табанының ауданы мен төменгі табанының аудандарына тең, яғни S_Tb= 𝝅l(R+r)+ 𝝅R+ 𝝅r

Цилиндр.

• Цилиндрдің ауданы: S=2 𝝅Rh

• Цилиндрдің көлемі: V= 𝝅r²h

Шар.

• Шардың көлемі: V=4|3 𝝅R³

• Шардың бетінің ауданы: S=4 𝝅r²; 𝝅d²

Гипотеза (гр. ὑπόθεσις — негізгі, жорамал) — белгілі бір құбылысты түсіндіру үшін алға тартылатын және тәжірибе түрінде тексеруді және сенімді ғылыми теория болып қалыптасу үшін теориялық негізді талап ететін ғылыми болжам, дәлелденбеген тұжырымдама, жорамал.^[1]

Әдетте гипотеза өзін құптайтын байқауларға (мысалдарға) негізделе жасалады, сондықтан рас болып көрінеді. Гипотезаны аяғында не дәлелдеп ақиқатқа айналдырады, немесе одан (қарсы мысал келтіру арқылы) бас тартып алдамшы тұжырымдамаға жатқызады. Ал, бас тартпаған және дәлелденбеген гипотезаны ашық мәселе (проблема) деп атайды.гипотезаның пайда болуы ежелгі дәуірдегі математиканың дамуымен тығыз байланысты. Көне заман математиктері гипотезаны матем. есептер шешімін дәлелдеу әдісі ретінде ұсынды және алғашқы жобаның дұрыстығын тексеру мақсатымен олардан қорытынды жасайтын дедуктивтік ойлау әдістерін кеңінен қолданды. Платон гипотезаны ой қорытудағы абс. ақиқат сипатты қамтамасыз ететін дәлелдеудің синтет. талдау әдісі ретінде қарастырды. Гипотезаны тексеру (hypothesis  testing) зерттеу жүргізген  кезде, нәтижесі гипотезаның статистикалық дәлелді материалы болған кезде, мысалы, орта мөлшер теңдігі келмесе байланыс.

Гипотезаны тексерудің ең қажет құралы болып статистикалық анализ болып табылғанды. Зерттеу нәтижесін статистика анализ жасағанда зерттеліп жатқан объекттің ерекшілігін з Дәлелдеудің логикалық құрлымы: тезис, негіз, аргументация. Тезистерді тікелей дәлелдеудің әдістері: тезистерді жанама дәлелдеудің біріктіру және алдын ала ұйымдастырылған әдістері. Бекерлеу бұл қандай да бір тезистің, аргумент пен демонстрцияның жалған болуы немесе теріске шығуы.

1.Лопиталь ережесіЛопиталь ережесі —   және   түріндегі анықталмағандықты айқындайтын ереже; қарастырылып отырған функциядағы функция қатынасының шегін туынды қатынасының шегіне айналдыру. Лопиталь ережесін И. Бернулли тауып, 1696 ж. Г. Лопиталь енгізген.

Лопиталь теоремасы:

1.  немесе  ;

2.  және    -нүктесінің тесік маңында дифференцияланады;

3.   -нүктесінің тесік маңында;

4.  табылады,

онда   табылады.

Шектер біржақты болулары да мүмкін.

2. Аффиндік түрлендірулер группасы. Турлендіру – кез келген Х жиынындағы -дің өз-өзіне бейнеленуі. Кейде (әсіресе, матем. анализ бен геометрияда) бір жиынды екінші бір жиынға ауыстырып бейнелеуді де Турлендіру деп атайды (мысалы, Лаплас Турлендіру-і, Фурье Турлендіру-і, т.б.). Геометрияда нүктелік Турлендіру жиі қарастырылады. Мұндай Турлендіру-де белгілі бір жиынның (сызық, бет, кеңістік) әрбір х нүктесіне сол жиынның басқа бір f(х) нүктесі сәйкес қойылады. Яғни, нүктелік Турлендіру нүктелер жиынының өз-өзіне бейнеленуі болып табылады. Нүктелік Турлендіру-ге қозғалыс Турлендіру, айналу Турлендіру-і, аффиндік Турлендіру жатады. Нүктелік Т-дің көптеген маңызды кластары топ құрайды (мыс., қозғалыс тобы, т.б.). Геом. зерттеулерде Турлендіру берілген фигураны қарапайым қасиеттері басымдау болатын басқа фигураға ауыстыру үшін қолданылады. Мысалы, шеңберді зерттеу жеңілірек болғандықтан, аффиндік Турлендіру-дің көмегімен эллипсті шеңберге Турлендіру-ге болады. Фигураның берілген Турлендіру-де өзгермейтін қасиеттерін инвариант деп атайды. Алгебрада қарастырылатын теңбе-тең Турлендіру-лерге жақшаларды ашу, көбейткіштерге жіктеу, ортақ бөлімге келтіру, т.б. жатады. Жоғары математикада берілген функцияны басқа бір функциямен ауыстыратын функцияларды Турлендіру зерттеледі.

Евклид жазықтығын алып,бейнелеулер мен түрлендірулер 1.Түзуге қарағандағы симметрия 2.Нүктеге қарағандағы симметрия. 3.Түзуге қысу.4.Параллель көшіру. 5.Жазықтықтағы бұру. 6.Ортогональдық түрлендірулер.

Қозғалыс. Егер де жазықтықтың түрлендіруі беріліп,кез келген кесіндінің бейнесі өзіне тең болса,онда осындай түрлендірулерді ортогональдық түрлендіру дейді. Ортогональдық түрлендіруге жататын түрлендірулер:параллель көшіру,симметриялар,бұру. Бір түзудің бойында жатпайтын реттелген үш нүктені бағдарланған үшбұрыш дейді де,кез келген үшбұрыштың бағдарын сақтайтын ортогональдық түрлендіруді бірінші түрдегі ортогональдық түрлендіру дейді;үшбұрыштың бағдары сақталмайтын ортогональдық түрлендіруді екінші түрдегі ортогональдық түрлендіру дейді. Бірінші түрге жататын ортогональдық түрлендіруді қозғалыс дейді. 7.Ұқсас түрлендірулер. Егер де ƙ=1,онда ұқсас түрлендіру ортогональдық түрлендіруге айналады. Кез келген үшбұрыштың бағдарын сақтайтын ұқсас түрлендіруді бірінші түрдегі ұқсас түрлендіру дейді.Кез келген үшбұрыштың бағдарын сақталмайтын ұқсас түрлендіруді екінші түрдегі ұқсас түрлендіру дейді. 8.Аффиндік түрлендірулер.Бір түзудің бойындағы кез келген үш нүктені басқа түзудің бойындағы үш нүктеге көшіретін түрлендіруді аффиндік түрлендіру дейді. Аффиндік түрлендірудің мысалдары:қиғаш қысу,түзуге қарағандағы симметрия,ортогональдық және ұқсас түрлендірулер. 9.Проективтік түрлендірулер. Евклид жазықтығының нүктелері мен шексіз алыстағы нүктелерден құралатын жинақты проективтік жазықтық дейді. Бір проективтік түзудің бойындағы кез келген үш нүктені екінші бір түзудің бойындағы үш нүктеге көшіретін проективтік жазықтықтың түрлендіруін проективтік түрлендіру дейді. Анықтама.M жинақтың барлық түрлендіруін G деп белгілейік.Егер де осы G-ге жататын кез келген екі түрлендірудің көбейтіндісі де G-ге жататын болса және G-дегі кез келген түрлендіруге керісінше түрлендіру де сол G-ге жататын болса,онда G-ді түрлендіудің группасы деп атайды.. 1.Жазықтықтағы барлық параллель көшірулер группа болады. 2.Жазықтықтағы барлық қозғалыстар группа құрайды.Шынында, Демек, f^(-1) түрлендіру қозғалыс екен және ол f түрлендіруге керісінше түрлендіру болады.Сонымен,группа анықтамасының екі шарты орындалды. 3.Жазықтықты бұру,ұқсас түрлендіру,аффиндік және проективтік түрлендірулер жеке-жеке группаларды құрады.Бұлардың дәлелдемелері жоғарыда келтірілген дәлелдемедей. Түрлендірудің группалары туралы мәселені мынадай теоремамен аяқтайық. 1)Параллель көшірулердің группалсы қозғалыс группасының бөлгіш группасы болады. 2)Жазықтықты бұру группасы қозғалыс группасының бөлгіш группасы болады. 3)Қозғалыс группасы аффиндік группасының бөлгіш группасы болады. 4)Ұқсас түрлендірулер группасы аффидік группаның бөлгіш группасы болады. Группаларды анықтайтын екі шарттан мынадай екі салдар шығады. 1)Егер P фигура Q фигураға эквивалент болса,онда Q фигура P фигураға эквивалент болады. 2)Егер P мен Q фигураларжеке-жеке R фигура эквивалент болса,онда P мен Q өзара эквивалент болады.