1. Меншіксіз интегралдар.

Анықталған интегралда интегралдау интервалдары шекті деп және интеграл астындағы функция сол аралықта шексіздікке айналмайды деп алдық. Ондай интегралдарды меншікті интегралдар деп атаймыз. Егер ең болмағанда жоғарыдағы екі шарттың біреуі орындалмаса, онда интеграл меншіксіз интеграл деп аталады.

Шектері шексіздік болып келетін интегралдар. f(x) функциясы сәулесінде берілсін және кезкелген шекті [a,b] кесіндіде интегралданатын болсын.

Анықтама. бар болса, онда ол f(x) функциясының жоғары шегі шексіздік болып келген меншіксіз интегралы деп аталады және деп белгілейді. Сонымен, . Егер осы шек бар болса, меншіксіз интегралы жинақталады дейді. Егер бұл шек болмаса онда шашырайды дейді.

Сонымен қарастырылған интеграл жөнінде мынандай қорытынды жасауға болады.

Егер болса, онда болады, яғни интеграл жиақталады.

Егер болса, онда болады, яғни интеграл шашырайды.

Егер болса, онда болады, яғни интеграл шашырайды.

1-Теорема. Егер х-тің барлық мәні үшін теңсіздігі орындалса және егер жинақталса, онда интегралданады, және сонымен бірге болады.

2-Теорема. Егер х-тің барлық мәні үшін теңсіздігі орындалса және егер жинақсыз болса, онда -та жинақсыз болады.

3-Теорема. Егер интегралы жинақты болса, онда интегралы да жинақты болады. Бұл жағдайда абсолютты жинақталады деп аталады.

2. Циркуль мен сызғыш арқылы салу туралы постулаттар жүйесі.

Геометриялық салу — кейбір геометриялық есептерді абсолют дәл деп ұйғарылатын әр түрлі аспаптардың (сызғыштың, циркульдің, тағы басқа) көмегімен шығару.

Есептердің түрі аспаптардың таңдап алынуына тәуелді болады. Салу есептері циркуль мен сызғыштың көмегімен, ізделініп отырған нүктелердің координаттары операциялар (қосу,көбейту, бөлу және квадрат түбір табу) саны шекті болып келген өрнек түрінде жазылса ғана шығарылады. Егер мұндай өрнек табылмаса, онда салу есебін циркуль мен сызғыштың көмегімен шығаруға болмайды. Мысалы, мұндай есептерге кубты екі еселеу, бұрыштың трисекциясы, дөңгелек квадратурасы жатады. Циркуль мен сызғыштың көмегімен шығарылатын кез келген салу есебін бір ғана циркульмен не сызғыштың (кейде бұрыштықпен) өзімен де шығаруға болады

№32.

1. Айналу бетінің ауданы. Айналу денесінің көлемі.

Конус.

• Конустың ауданы: S=𝝅Rl

Бұл жерде R-радиусы, l-ұзындығы.

• Конустың көлемі: V= 𝝅R²H

• Қиық конустың бүйір жағының ауданы S_b= 𝝅l(R+r), мұндағы l-қиық конустың жасаушысы, R және r сәйкес түрде табандарының радиустары.

• Толық бетінің ауданы бүйір бетінің ауданына қиық конустың жоғарғы табанының ауданы мен төменгі табанының аудандарына тең, яғни S_Tb= 𝝅l(R+r)+ 𝝅R+ 𝝅r

Цилиндр.

• Цилиндрдің ауданы: S=2 𝝅Rh

• Цилиндрдің көлемі: V= 𝝅r²h

Шар.

• Шардың көлемі: V=4|3 𝝅R³

• Шардың бетінің ауданы: S=4 𝝅r²; 𝝅d²

Лобачевский Геометриясы

Лобачевский Геометриясы - евклидтік емес геометрияның бір түрі; Евклид геометриясындағы параллель түзулер жөніндегіаксиома қарама-қарсы мағыналы аксиомоға ауыстырылған. Евклид “Негіздерінде” параллель түзулер жөніндегі аксиома былайша тұжырымдалған: берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы осы түзумен бір жазықтықта жататын және онымен қиылыспайтын бір ғана түзу жүргізуге болады. Ал Лобачевский геометриясы оның орнына мынадай аксиома қолданылады: берілген түзудің бойында жатпайтын нүкте арқылы осы түзумен бір жазықтықта жататын және онымен қиылыспайтын кем дегенде екі түзу жүргізуге болады. Лобачевский геометриясын Н.И. Лобачевский жасап дамытқан. Сәл кейін осындай теорияны Я.Больяй (1802 — 1860) да дәлелдеген. Сондықтан, Лобачевский геометриясы кейде Лобачевский — Больяй геометриясы деп те аталады. Евклидтен Лобачевскийге дейінгі 2 мың жылдан аса уақыт аралығында көптеген ғалымдар К.Птолемей, Д.Прокл, Ибн әл-Хайсам, О.Хайям, П.Катальди, Дж.Валлис, Дж.Саккери, А.Лежандр, Ф.Швейкарт, Ф.Тауринус, т.б. осы теорияны дәлелдемек болып еңбек еткен. Лобачевский геометриясын арнайы гиперболалық евклидтік емес геометрия деп атайды. Олай атау Риманныңэллипс[эллипстік] геометриясына қарсы қою үшін қажет болды (қ. Риман геометриясы). Лобачевский геометриясы математикада да, физикада да қолдануға болатын мазмұны бай теория. Лобачевский бұл теорияны құру арқылы Евклидтік емес геометрияның озық мүмкіндіктерін көрсетті. Ол геометрия және жалпы математика дамуындағы жаңа белес болды (қ. Геометрия). Лобачевский геометриясы Лобачевский жазықтығы (планиметрияда) мен Лобачевский кеңістігінің (стереометрияда) қасиеттерін зерттейді.

Лобачевский жазықтығы - параллель түзулер туралы аксиомадан басқа Евклид геометриясы аксиомаларының барлығына бағынатын түзу сызықтар мен фигуралардың қозғалысы (сонымен қатар қашықтықтар, бұрыштар, т.б.) анықталған жазықтық (нүктелер жиыны). Осыған ұқсас жолмен Лобачевский кеңістігі де анықталады. Лобачевский геометриясының нақты мәнін анықтау мәселесі Лобачевскийдің жазықтығы мен кеңістігінің үлгісін табу болатын, яғни Лобачевский геометриясыныңпланиметриясы мен стереометриясының ережелері шамалап түсіндірілген нысандарды табу еді. 1868 ж. Э.Бельтрами Лобачевский жазықтығының бір бөлігіндегі геометрияның тұрақты теріс қисықтығы бар беттердегі геометриямен сәйкес келетінін байқаған; оның қарапайым мысалы — псевдосфера.

Гильберт геометриясы.

Давид Гильберт – 1862 жылы 23 қаңтарда дүниеге келген неміс математигі, математикаға үлкен үлес қосқан ғалым. 1884 жылы Кенигсберг университетін бітірді. 1893-1895 жылдары – Кенигсберг университетінің профессоры, ал 1895-1943 жылдары – Геттингенск университетінің профессоры болды.

Гильберттің ең бір маңызды ғылыми шығармаларының бірі «Геометрияның негіздемесі» атты еңбегі. Пиери еңбектері сияқты, Гильберттің бұл еңбегі 1899 жылы бірінші баспадан шыққан. Қазіргі аудармасы 1930 жылы жетінші баспадан бастап істеген. Осы еңбегінде евклидтің геометриясының аксиомасының толық жүйесін берді. Гильберт жүйелі түрде өз аксиомаларының өзара тәуелсіздігін үйренеді және өзі іргелі геометриялық теоремалардың аксиомаларын жасады.

Гильберттің «Геометрияның негіздемесі» атты еңбегіндегі аксиоматикаға арналған бөлімінің алғы сөзінде былай деп жазылған «Геометрия – арифметика сияқты өзінің құрастырған тек қана біршама негізгі ережелерін талап етеді. Бұл негізгі ережелер геометриялық аксиомалар деп аталады. Геометриялық аксиомалардың анықталуы және олардың арақатынастарының зерттелуі Евклид заманындағы математикалық әдебиеттің көп ғажайып шығармаларының тақырыбы болып табылған.

Зерттеулердің жаңа талаптарын ескере отырып толық және оңай аксиомалар жүйесін геометрия үшін орнатуға болады, сонымен қатар ең маңызды геометриялық аксиомалармен теоремалар түсінікті болу үшін аксиомалардың әр түрлі топтарынан жеке аксиомалар пайда болды».

АКСИОМАНЫҢ БЕС ТОБЫ

Геометриялық элементтер және аксиоманың бес тобы

Біздің ойымызша үш түрлі жүйенің жиыны бар: бірінші жиынды нүкте деп атаймыз және олар А, В, С , . . . ; екінші жиынды түзу деп атаймыз және олар а, в, с, . . . ; үшінші жиынды жазықтық деп атаймыз және олар α, β, γ, . . . ; нүкте сонымен қатар сызықтық геометрияның элементі, нүкте және түзу – геометриялық жазықтықтың элементі, нүкте, түзу және жазықтық – геометриялық кеңістіктің элементі.

Біздің ойымызша нүкте, түзу және жазықтық арасындағы қатынастар анықталған және осы қатынастарды мынадай сөздер арқылы енгіземіз: «жатады», «аралық», «конгруенттік», «параллельдік», «үзліссіздік». Нақты және математикалық мақсаты үшін толық қатынастар сипатталады және ол геометриялық аксиомаларға сүйенеді.

Геометриялық аксиомалар бес топқа бөлінеді. Әр топтағы аксиомалар бір – бірімен байланысты. Олар былай аталады:

I.байланыс аксиомасы,

II. реттілік аксиомасы,

III. конгруенттілік аксиомасы,

IV. параллельдік аксимасы

V.Үзліссіздік аксиомасы.

Аксиоманың бірінші тобы: байланыс аксиомасы

Бұл топтағы аксиомаларға нүктелер жиыны, түзулермен жазықтардың аралық тиістілігінің қатынасы енгізілген және осы топ аксиомалары мынадай салдарларға бөлінеді:

I1. А және В кез келген екі нүктелер үшін тиісті а түзуі бар.

I2. А және В нүктелерінің кем дегенде біреуі бір түзуде жатады.

I3. Түзудің бойында кем дегенде екі нүкте жатады, кем дегенде үш нүкте бір түзудің бойында жатпайды.

I4. Кез келеген үш нүкте А, В, С бір түзудің бойында жатпайды, үш нүктенің әрқайсысы α жазықтығына тиісті. Қандайда бір жазықтыққа тиісті әрқашанда нүкте болады.

I5. Кез келген А, В, С нүктелері, бір түзудің бойында жатпайтын, кем дегенде бір жазықтықта осы нүктелер жатады.

I6. Егер екі А, В нүкте а түзу α жазықтығында жатса, онда α жазықтығында нүкте а түзуінде жатады.

I7. Егер екі α және β жазықтығына ортақ А нүктесі болса, онда осы жазықтықтарға кем дегенде тағы бір ортақ нүктесі В болады.

I8. Кем дегенде төрт нүкте бір жазықтықта жатпауы мүмкін.

Аксиоманың екінші тобы: реттілік аксиомасы

Бұл топтағы аксиомалар «аралық» ұғымы мен байланысты және осы ұғым арқылы кеңістіктегі жазықтықтың, нүктелердің, түзулердің реттілігінің негізін қалайды.

II1. Егер В нүктесі А және С нүктелерінің аралығында жатса, онда А,В,С нүктелері бір түзудің бойында және В нүктесі С және А нүктелерінің аралығында жатады.

II2. Кез келген А және С нүктелері бір түзудің бойында жатады. А,С нүктелерімен қатар сол түзуге кем дегенде бір В нүктесі тиісті және С нүктесі А және В нүктелерінің аралығында жатады.

II3. Бір түзудің бойында жататын үш нүктенің кем дегенде біреуі екі нүктенің арасында жатады.

II4. Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте А,В,С және осы нүктелерден құралған АВС жазықтығын а түзуі қиып өтсін,осы нүктелердің ешқайсысы а түзуінде жатпайды. а түзуі АВ кесіндісін қию үшін АС немесе ВС кесіндісін қиып өтеді.

Аксиоманың үшінші тобы: конгруенттілік аксиомасы

Бұл топтағы аксиомалар конгруенттілік ұғымына және сол сияқты қозғалыс ұғымына байланысты.

III1. Егер А,В нүктелері а түзуіне тиісті және сол сияқты А| нүктесі а| түзуіне тиісті болсын, онда а| түзуінен әрқашанда В| нүктесі табылады. Сондықтан АВ кесіндісі конгруентті немесе тең А| В| кесіндісіне

III2. Егер А| В| кесіндісі және А|| В|| кесіндісі А В кесіндісіне конгруентті болса, онда А| В| кесіндісі А|| В|| кесіндісіне конгруентті болады, яғни, егер екі кесінді үшінші кесіндіге конгруентті болса, онда олар бір-біріне конгруентті.

III3. Егер АВ және ВС а түзуіндегі ортақ нүктесі жоқ кесінділер және А| В| пен В|С| а| түзуіндегі ортақ нүктесі жоқ кесінділер болсын; егер осыдан

онда

III4. Берілген бұрыш <(h, k) α жазықтығында және а| түзуі α| жазықтығында болсын, сондай-ақ толығымен а| түзуі α| жазықтығына қатысты. h| луч а| тиісті болсын, шыққан О| нүктесі; мұндай жағдайда бір α| жазықтығы және тек қана бір k| луч, келесі жағдайға орындалады: бұрыш <(h|, k|) конгруентті, яғни, <(h|, k|) бұрышына тең, сонымен бірге барлық ішкі нүктелердің бұрышы <(h|, k|) α| жазықтығында жатады, а| түзуіне негізделіп. Бұрыш <(h, k) конгруентті <(h|, k|) бұрышына

<(h, k) <(h|, k|).

Әрқашанда әрбір бұрыш өз-өзіне конгруентті<(h, k) <(h, k ).

III5. Егер екі үшбұрыш АВС және А| В| С| бір-біріне конгруентті болса онда конгруентті

Аксиоманың төртінші тобы: параллелдік аксиомасы

а түзуі бар дейік, түзуге тиісті емес нүкте берілген, олар жазықтықта анықталған болсын. а түзуімен қиылыспайтын А нүктесі арқылы көптеген түзулер жүргізуге болады және олардың біреуі а түзуіне параллель болады.

Аксимасның бесінші тобы: үзліссіздік аксиомасы

V1. (Архимед аксиомасы ). Егер қандайда бір АВ және СD кесінділері бар болсын; онда түзудегі АВ кесіндісі А1, А2, А3,…,Аn нүктелерді қабылдайды, сондай-ақ, сол нүктелерден құралған кесінділер АА1, А1 А2, А2 А3 ,…, Аn-1 Аn конгруентті СD кесіндісіне және В нүктесі А және Аn нүктелерінің арасында жатады.

V2. Түзудегі нүктелерден жүйе құралады, сызықтық реттілігі сақталған, бірінші конгруенттілік аксиомаларына және Архимед аксиомаларына ешқандай рұқсат етілмеген, осы нүктелер жүйесіне тағы да осылай нүктелер енгізу, себебі жүйе, бастапқы және енгізілген нүктелер, толық барлық аксиомаларға тиісті.

Ой қорытынды немесе силлогизм — ойлау формасы. Білімнің негізі абстрактілі ойлаудың маңызды бір формасы — ой қорытындымен алынған білім. Біз өзімізді қоршаған болмыс туралы білімді ұғым, пікір, ой қорытынды формасында тұжырымдаймыз. Сондықтан ойлаудың бұл формалары дүниетанудың негізгі құралы болып есептеледі.

Ой қорытынды — бір немесе бірнеше пікір қоспасынан шыққан жаңа пікір түріндегі ойлау формасы. Біз өзіміздің күнделікті іс-әрекетіміздің нәтижесінде ой корытынды жасап отырамыз. Егер негізге алынған пікір дүрыс болса және біз ой корытындысын дұрыс күрған болсақ, қорытындымыз әр уақытта дұрыс болып шығады. Берілген пікірден қорытынды шығару үшін ол пікірді мазмүны бойынша белгілі тәртіпте бір-бірімен байланыстыруымыз керек. Кездейсоқ қатар келетін пікірден қорытынды шығаруға болмайды. Өйткені, оларда ортақ мазмұн жоқ. Мысалы, мына екі пікірден қорытынды шығаруға болмайды: "Барлық құстар — жануар", "Капиталистердің бәрі — қанаушы", өйткені бұл пікірлердің арасында логикалық байланыс жоқ.

Дедукциялық ой қорытындынын көп тараған айрықша формасын логиканың атасы Аристотель силлогизм (грек. "силлогизм"— жинақтау, корыту) деп атаған болатын. Бұлтермин осы күнге дейін сақталып келеді. Силлогизм дегеніміз — екі немесе одан да көп алғышарттардан қорытынды, шығаратын дедукциялық ой қорытынды. Дедукциялық ой қорытынды немесе силлогизм — біреуі міндетті түрде жалпы пікір болатын екі пікірден үшінші пікір шығаратын ой қорытынды.

Ой қорытындынының түрлері :

1. Карапаиым, күрделі, полисилогизм,индукция, дидукция, толымды және толымсыз индукция

2. Сурак

Егер Х0 нүктесіндегі аргументтің шексіз аз өсімшесіне функциялық шексіз аз өсімшесіне сәйкес келсе, онда у = f(x) функциясын Х0 нуктесінде узіліссіз деп аталып,былай жазады.

2. .

3. Егер f(x0+0) және f(x0-0) шекті шектер бар, бірақ ол f(x0)ден өзгеше болса онда Х0 нүктесін бірінші текті узіліс нуктелері д.а.

4. f(x0+0)-f(x0-0) айырмасын f(x) функциясының Х0 нуктесіндегі СЕКІРІСІ ДЕП АТАЙДЫ.

5. БОЛЬЦАНО-КОШИДІҢ 1- БІРІНШІ ТЕОРЕМАСЫ:

6. f(x) функциясы кесіндісінде узіліссіз және кесінділер уштарында функция мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, онда (а,в) аралаығында ең болмаса бір нүкте с табылып f(с) 0 болады.

7. БОЛЬЦАНО-КОШИДІҢ ЕКІНШІ ТЕОРЕМАСЫ:

8. Егер f(x) функциясы кесіндісінде узіліссіз және f(а) f(в) болса, онда функция осьі сигментте f(а) f(в) сандарының арасында жатқан кез-келген (мю мәнін кабылдаиды. Демек, С ,

9. f(с) (мю) теңдігін қанағаттандыратын кемінде бір С саны табылады.

10. Функция (лат. functіo – орындау, атқару, жүзеге асыру) математикадағы ұғым.Егер мүмкін мәндер жиынтығынан алынған х-тің әрбір мәніне айнымалы у-тің белгілі бір мәні сәйкес келсе, онда у айнымалы шамасы х айнымалы шамасының функциясы деп аталады. Мұндай тәуелділік у=f(х) түрінде жазылады. f әрпінің орнына басқа әріптер де (мыс., F, , , т.б.) қолданылады. Мұндағы х-ті тәуелсіз айнымалы (кейде аргумент) деп, ал оның өзгеру облысы (жиыны) у-тің анықталу облысы деп аталады. х-тің өзгеруіне байланысты айнымалы у-тің қабылдайтын мәндерінің жиынын у функциясының өзгеру облысы деп атайды. Функцияның жоғарыда берілген анықтамасында назар аударатын екі жағдай бар: біріншісі — аргумент х-тің өзгеру облысын көрсету, екіншісі — х пен у мәндерінің арасындағы сәйкестік ережені немесе заңды тағайындау. Егер х-тің бір мәніне у-тің бір ғана мәні сәйкес келсе, онда у-ті х-тің бір мәнді Функциясы деп, ал егер х-тің бір мәніне у-тің бірнеше мәні сәйкес келсе, онда у-ті х-тің көп мәнді Функциясы деп атайды.Айнымалы шамалар (х пен у) мәндерінің арасындағы сәйкестік ережені немесе заңды функц. тәуелділік дейді. Функция көбінесе аналитикалық тәсіл немесе формула арқылы (мысалы, , т.б.), кейде графиктік және таблицалық (дәл не жуық формулалармен есептелген) тәсілдерімен де беріледі. Математиканың одан әрі дамуы нәтижесінде Функция табиғаты кез келген айнымалы математикалық объектілер арасындағы сәйкестік ретінде жалпыланды. Математиканың басқа ұғымдары тәрізді Функция ұғымы да бірден қалыптасқан жоқ. Ол дамудың ұзақ жолынан өтті. “Функция” термині алғаш рет 1692 ж. Г.Лейбництің еңбектерінде кездесті. Функцияның қазіргі ұғымға жақын алғашқы анықтамасын И.Бернулли (1718) берген, ал бұл ұғымды Д.Бернулли, Л.Эйлер, Ж.Фурье, П.Дирихле, Н.И. Лобачевский, т.б. одан әрі дамытты

Функцияның туындысының анықтамасы. 

f(x) функциясы   нүктесінің маңайында анықталған болсын. Функцияның   өсімшесінің аргументтің   өсімшесіне қатынасының   ұмтылғандағы шегі f(x) функциясының   нүктесіндегі туындысыдеп аталып,   арқылы белгіленеді, яғни