Парабола және оның қасиеттері

Анықтама. Парабола деп фокусы деп аталатын нүктеден ара қашықтығы центрі арқылы өтпейтін директрисасы деп аталатын берілген түзуден бірдей ара қашықтықта болатын жазықтықтағы нүктелердің жиынын айтады.

Координат басын фокус пен директрисаның ортасына орналастырамыз.

у

А М(х, у)

О F x

p/2 p/2

р шама (фокустан директрисаға дейінгі қашықтық) параболаның параметрі деп аталады. Параболаның жабайы теңдеуін қорытып шығарайық.

Геометриялық кескіндемеден: AM = MF; AM = x + p/2;

MF² = y² + (x – p/2)²

(x + p/2)² = y² + (x – p/2)²

x² +xp + p²/4 = y² + x² – xp + p²/4

y² = 2px (*)

x = -p/2 - директрисаның теңдеуі.

Параболаның қасиеттері:

1. (*) теңдеудегі у жұп дәрежелі болғандықтан, парабола Ох өсіне қарағанда симметриялы, Ох өсі параболаның симметрия өсі болады.

2. р0 болғандықтан, (*) теңдеуден х0. Сондықтан, парабола Оу өсінің оң жағында орналасады.

3. х  0 болғанда, у  0. Демек, парабола координат басы арқылы өтеді.

4. х шектеусіз өскен сайын у-тің модулі де шектеусіз өседі. О(0; 0) нүкте параболаның төбесі , ҒМ  г М нүктесінің фокальдық радиусыболады.

y² = - 2px , х² = 2pу, х² = - 2pу (р0 ) теңдеулері де параболаларды анықтайды.

Анықтама(лат. defіnіtіo) – кең мағынада, ұғымның мазмұнын ашуға көмектесетін логикалық амал. Кез келген анықтама анықталушы (defіnіendum) және анықтаушы (defіnіens) ұғымдарды білдіреді; анықталушы ұғымның мазмұнын ашуға көмектеседі; сол ұғымды оған ұқсас ұғым; термин мағынасы берілетін пайымдау немесе үрдіс. Ең дұрыс анықтама анықталатын сөз немесе терминге логикалық түрде сай болады

.Анықтама деп жаңа ұғымдардың мағынасын бұрыннан белгілі ұғымдар арқылы түсіндіретін сөйлемді айтамыз. Логикада анықтамаларды ең алдымен номиналдық және реалдық деп ажыратады. Анықтамаларды бұлай ажырату сол анықталатын ұғымға деген біздің қатынасымызбен тығыз байланысты.

Аксиоматикалық (ұғым бастапқы деп есептелініп, олардың арасындағы байланыстар аксиоматикалык жолмен немесе ] аксиомалар жүйесімен түсіндіріледі) жолмен, мысалы: натурал сан уғымын аксиомалар арқылы (Пеано аксиомаларына негіздей : отырып) енгізу.

Номиналдық анықтамада (латынша nonem — есім) біз өзімізге немесе басқаларға бұрын таныс емес терминнің мәнін ашуға тырысамыз немесе сол ұғымды алмастыратындай белгі енгіземіз (әдетте олар өз құрамына «аталады», «белгіленеді» және т.б. сөздерді кіргізеді).

Реалдық деп бұл анықтамаға дейін мазмұны мен көлемі туралы бізде түсінік болған ұғымның анықтамасы аталады.

Бізге күнделікті өмірде кездесетін және гуманитарлық пәндердегі анықтамалардың басым көпшілігі реалдық анықтамалар тобына жатады.

Жазықтықтағы аксиомалар

А.I.1.(Тиістілік аксиомасы.) Қандай түзуді алсақ та, ол түзуге тиісті нүктелер де, оған тиісті емес нүктелер де бар болады.

А.I.2.(Тиістілік аксиомасы.) Кез келген екі нүкте арқылы бір ғана түзү жүргізуге болады.

А.II.1.(Нүктенің орналасу аксиомасы.) Түзудегі үш нүктенің біреуі және тек біреуі ғана қалған екеуінің арасында жатады.

А.II.2.(Жазықтықты бөлу аксиомасы.) Түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.

А.III.1.(Кесіндіні өлшеу аксиомасы.) Әрбір кесінлінің нөлден үлкен белгілі бір ұзындығы болады. Кесіндінің ұзындығы өзінің кез келген нүктесімен бөлінген бөліктерінің ұзындықтарының қосындысына тең болады.

А.III.2.(Бұрышты өлшеу аксиомасы.) Әрбір бұрыштың нөлден үлкен белгілі бір градустық өлшемі бар болады. Жазыңқы бұрыштар 180º -қа тең болады. Бұрыштың градустық өлшемі оның қабырғаларының арасымен өтетін кез келген сәулемен бөлінетін бөліктерінің градустық өлшемдерінің қосындысына тең.

А.IV.1.(Кесіндіні өлшеп салу аксиомасы.) Кез келген жарты түзудің бойына оның бас нүктесінін бастап ұзындығы берілген кесіндіні өлшеп салуға болады және ол кесінді тек біреу ғана болады.

А.IV.2.(Бұрышты өлшеп салу аксиомасы.) Кез келген жарты түзуден бастап берілген жарты жазықтыққа градустық өлшемі 180º тан кем бұрышты өлшеп алуға болады және бұл бұрыш тек біреу ғана.

А.IV.3.(Үшбұрыштың бар болуы және оның берілген үшбұрышқа тең болуы туралы аксиома.) Үшбұрыш қандай болса да, берілген жарты түзуге қатысты көрсетілген қалыпта орналасқан оған тең үшбұрыш бар болады.

А.V.1.(Параллель түзулер аксиомасы.) Берілген түзуде жатпайтын нүкте арқылы осы түзуге тек бір ғана параллель түзу жүргізуге болады.

Стереометрия курсының анықтамалары

Стереометрия (гр. stereo - кеңістік, metreo - өлшеймін) – геометрияның кеңістіктегі фигуралардың қасиеттерін зерттейтін бөлімі.

Стереометрия, планиметрия курсы сияқты, аксиомалар жүйесі арқылы беріледі.

Стереометрия аксиомалары жүйесіндегі анықтамасыз қабылданатын негізгі ұғымдар: нүкте, түзу және жазықтық. (Планиметриядан нүкте мен түзу ғана болатын).

Стереометрияда да планиметриядағы нүктелер мен түзулерді белгілеу тәсілі сақталады. Мысалы A, B, C, D  нүктелері, a, b, c, d, AB, EF түзулері.

Жазықтықтарды грек алфавитінің кіші әріптерімен белгілейді, мысалы α, β, γ, δ.

Стереометрия аксиомалары жүйесі планиметрияның аксиомаларына қоса мынадай аксиомалардан тұрады:

С1. Қандай жазықтықты алсақ та, сол жазықтықта жататын нүктелер де, жатпайтын нүктелер де бар болады.

С2. Бір түзуде жатпайтын кез-келген үш нүкте арқылы бір ғана жазықтық жүргізуге болады.

С3. Егер түзудің екі нүктесі жазықтықта жатса, онда түзу тұтасымен осы жазықтықта жатады.

С4. Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса, онда жазықтықтар осы нүкте арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.

 Аксиомалардың салдары.

Теорема. Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы бір ғана жазықтық жүргізуге болады.

Теорема. Түзу және осы түзуде жатпайтын нүкте арқылы бір ғана жазықтық жүргізуге болады.

Теорема. Қиылысқан екі түзу арқылы бір ғана жазықтық жүргізуге болады.

Теорема. Егер түзудің екі нүктесі берілген жазықтықта жатса, онда түзу толығымен осы жазықтықта жатады. 1918 ж. белгілі математик Г.Вейльдің (1885-1955 ж.) евклид геометриясының "векторлық" деп аталатын негіздемесі ұсынылды. Вейль аксиоматикасы евклидтік (нүктелік) кеңістіктің теориясын сызықтық алгебра тіліне аударады. Бұл теоремалардың дәлелдемелерін алгоритмдеуді жүзеге асыруға мүмкіндік берді және геометрияны оқып-үйренудің жаңа "патшалық жолын" ашты. Н. Бурбакидің жүмыстарына байланысты математиканы "алгебраизациялау" қозғалысы пайда болды. Бұл Вейль аксиоматикасы негізінде құрылған п өлшемді геометрияның ерекше ролін мүмкін болатын ғылыми қолданулар тарапынан ғана емес, сонымен қатар орта мектептің оку пәні ретіндегі Евклид - Гильберт геометриясын осы геометриямен ауыстыру мүмкіндігі тарапынан бағалауға алып келді.

КОМПЛЕКС САНДАР. Комплекс сандар алгебралық теңдеулерді шешу негізінде пайда болды.  Комплекс сан деп z=a+bi түріндегі санды айтамыз, мұндағы a және b –нақты сандар, ал i –жорамал бірлік, i²=–1. a комплекс санның нақты бөлігі, b –оның жорамал бөлігі. Re(z)= a, Im(z) = b - комплекс сандар жиыны. Әрбір нақты сандар комплекс сан деп қабылдауға болады, себебі,   үшін  . Комплекс сандар жиыны нақты сандар жиынының кеңеюі  . z=a+bi және  =a–bi өзара түйіндес сандар деп аталады z₁=a+bi және z₂=c+di cандары тең  Комплекс сандарының қосындысы комплекс сан болады. Комплек сандардың көбейтіндісі комплекс сан.  z=z₁×z₂=(a+bi)×(c+di)=(ac–bd)+(bc+ad)i. Комплекс сандардың бөліндісі комплекс сан,  =r - комплекс санның модулі  . Жазықтықтағы аксиомалар

А.I.1.(Тиістілік аксиомасы.) Қандай түзуді алсақ та, ол түзуге тиісті нүктелер де, оған тиісті емес нүктелер де бар болады.

А.I.2.(Тиістілік аксиомасы.) Кез келген екі нүкте арқылы бір ғана түзү жүргізуге болады.

А.II.1.(Нүктенің орналасу аксиомасы.) Түзудегі үш нүктенің біреуі және тек біреуі ғана қалған екеуінің арасында жатады.

А.II.2.(Жазықтықты бөлу аксиомасы.) Түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.

А.III.1.(Кесіндіні өлшеу аксиомасы.) Әрбір кесінлінің нөлден үлкен белгілі бір ұзындығы болады. Кесіндінің ұзындығы өзінің кез келген нүктесімен бөлінген бөліктерінің ұзындықтарының қосындысына тең болады.

А.III.2.(Бұрышты өлшеу аксиомасы.) Әрбір бұрыштың нөлден үлкен белгілі бір градустық өлшемі бар болады. Жазыңқы бұрыштар 180º -қа тең болады. Бұрыштың градустық өлшемі оның қабырғаларының арасымен өтетін кез келген сәулемен бөлінетін бөліктерінің градустық өлшемдерінің қосындысына тең.

А.IV.1.(Кесіндіні өлшеп салу аксиомасы.) Кез келген жарты түзудің бойына оның бас нүктесінін бастап ұзындығы берілген кесіндіні өлшеп салуға болады және ол кесінді тек біреу ғана болады.

А.IV.2.(Бұрышты өлшеп салу аксиомасы.) Кез келген жарты түзуден бастап берілген жарты жазықтыққа градустық өлшемі 180º тан кем бұрышты өлшеп алуға болады және бұл бұрыш тек біреу ғана.

А.IV.3.(Үшбұрыштың бар болуы және оның берілген үшбұрышқа тең болуы туралы аксиома.) Үшбұрыш қандай болса да, берілген жарты түзуге қатысты көрсетілген қалыпта орналасқан оған тең үшбұрыш бар болады.

А.V.1.(Параллель түзулер аксиомасы.) Берілген түзуде жатпайтын нүкте арқылы осы түзуге тек бір ғана параллель түзу жүргізуге болады.

Стереометрия курсының анықтамалары

Стереометрия (гр. stereo - кеңістік, metreo - өлшеймін) – геометрияның кеңістіктегі фигуралардың қасиеттерін зерттейтін бөлімі.

Стереометрия, планиметрия курсы сияқты, аксиомалар жүйесі арқылы беріледі.

Стереометрия аксиомалары жүйесіндегі анықтамасыз қабылданатын негізгі ұғымдар: нүкте, түзу және жазықтық. (Планиметриядан нүкте мен түзу ғана болатын).

Стереометрияда да планиметриядағы нүктелер мен түзулерді белгілеу тәсілі сақталады. Мысалы A, B, C, D  нүктелері, a, b, c, d, AB, EF түзулері.

Жазықтықтарды грек алфавитінің кіші әріптерімен белгілейді, мысалы α, β, γ, δ.

Стереометрия аксиомалары жүйесі планиметрияның аксиомаларына қоса мынадай аксиомалардан тұрады:

С1. Қандай жазықтықты алсақ та, сол жазықтықта жататын нүктелер де, жатпайтын нүктелер де бар болады.

С2. Бір түзуде жатпайтын кез-келген үш нүкте арқылы бір ғана жазықтық жүргізуге болады.

С3. Егер түзудің екі нүктесі жазықтықта жатса, онда түзу тұтасымен осы жазықтықта жатады.

С4. Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса, онда жазықтықтар осы нүкте арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.

 Аксиомалардың салдары.

Теорема. Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы бір ғана жазықтық жүргізуге болады.

Теорема. Түзу және осы түзуде жатпайтын нүкте арқылы бір ғана жазықтық жүргізуге болады.

Теорема. Қиылысқан екі түзу арқылы бір ғана жазықтық жүргізуге болады.

Теорема. Егер түзудің екі нүктесі берілген жазықтықта жатса, онда түзу толығымен осы жазықтықта жатады.

Ықтималдықтың классикалық анықтамасы

Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдарының бірі-оқиға. Егер белгілі бір шарттар жиынтығы орындалғанда болатын немесе болмайтын оқиға кездейсоқ деп аталады. Оқиға сынақ нәтижесі деп қарастырылады.

Анықтама. Оқиға ықтималдығы деп осы оқиға орындалуына қолайлы элементар жағдайлар санының осы сынақтағы барлық толық топ құрайтын бірдей мүмкіндікті, тең мүмкіндікті үйлесімсіз жағдайлар санына қатынасын айтамыз:

мұндағы n-барлық сынақтардың жалпы саны, m - А оқиғасы орындалатын сынақтар саны.

Ақиқат оқиға ықтималдығы p=1. Анықтамаға сүйенсек, А – ақиқат оқиға болғандықтан m=n болады да

P(A)=1.

Жалған оқиғаның ықтималдығы p=0. Бұл жағдайда анықтамаға сүйенсек, m=0 болады да

Кездейсоқ оқиға ықтималдығы 0 мен 1- дің аралығында анықталады:

0<P(A)<1

Сонымен, кез келген оқиғаның орындалу ықтималдығы 0≤P(A)≤1 теңсіздігін қанағаттандырады.

А және В оқиғаларының қосындысыдеп А оқиғасының орындалуын, немесе В оқиғасының орындалуын, немесе А және В оқиғаларының екеуініңде орындалуын айтамыз және былай белгілейміз А+В.

А және В оқиғаларының көбейтіндісідеп А мен В оқиғалары бірлесе орындалатын А·В оқиғасын айтамыз.

Егер А оқиғасының орындалуы В оқиғасының да орындалуын қамтамасыз етсе, онда А оқиғасы В оқиғасының құрамында жатады деп айтамыз, және былай белгілейміз АÌВ.

Егер АÌВ болса, онда А·В=А және А+В=В екендігі жоғарыдағы анықтамалардан шығады.

А және В оқиғаларының айырмасы деп А оқиғасы орындалып, В оқиғасы орындалмайтын оқиғаны айтамыз және С=A\B немесе C=A-B деп белгілейміз.

Сынақ нәтижесінде орындалған А оқиғасы В оқиғасының да орындалуын қамтыса (яғни, АÌВ) немесе осы сынақта В оқиғасының орындалуы А оқиғасының да орындалуын қамтыса (яғни ВÌА), онда А және В оқиғалары балама (эквивалент) деп аталады және А=B деп белгіленеді. Өзара балама оқиғалар теңбе-тең немесе тең оқиғалар деп аталады.

Белгілі бір шарттар жиыны іске асырылғанда, міндетті түрде орындалатын оқиға ақиқат оқиға деп аталады

Белгілі бір шарттар жиыны іске асырылғанда, алдын ала орындалмайтыны белгілі оқиға жалған оқиға деп аталады

Ақиқат оқиғаны U деп , жалған оқиғаны V деп белгілейміз.

Егер бір сынақта бір оқиғаның орындалуы басқа оқиғалардың орындалуын жоққа шығарса, онда оқиғалар үйлесімсіз деп аталады.

Егер А және В оқиғалары үйлесімсіз болса, онда А·В=V.

Қарама қарсы оқиғалар деп, толық топ құрайтын жалғыз мүмкіндікті екі оқиғаны айтамыз. Біреуі А оқиғасы деп, екіншісі   деп белгіленеді.

Ендеше, осы анықтамаларға сүйене отырып, төмендегі теңдіктерге оңай көз жеткізуге болады:

А+А=А А·А=А А+   =U A·   =V

A+V=A A·V=V A+U=U A·U=A

Оқиғалардың қосындысы, көбейтіндісі және айырмасының анықтамаларын қолдана отрып,мына төмендегі теңдіктерге көз жеткізуге болады:

АÈА=А АÇА=А АÈВ=ВÈА

АÇВ=ВÇА АÈ(ВÈС)=(АÈВ)ÈС АÇ(ВÇС)=(АÇВ)ÇС

А\В=АÇ   АÇ(ВÈС)=АÇВÈАÇС (АÈВ)Ç(АÈС)=АÈВÇС

   

 

Шешуі «нешеу», «неше тәсілмен» деген сұрақтарды қажет ететін есептер комбинаторикалық есептерделінеді. Мұндай есептерді шешумен айналысатын математика саласы комбинаториканемесекомбинаторикалық математика деп аталады.

1- анықтама. Берілген әртүрлі n элементтен m элемент бойынша орналастырулар деп әрқайсысы бір бірінен құрамы бойынша , немесе орналасу реті бойынша ажыратылатын комбинацияларды айтамыз.

 (2.1)

мұндағы n! ( эн факториал) дегеніміз n!=1· 2 ·3 ·4 ·5 · …· n 1-ден n-ге дейінгі натурал сандардың көбейтіндісі

Ескерту: 0!=1 деген ұйғарым алынған.

Мысал 1.2.1: Әр түсті 6 жалаушадан екеуден ала отырып, неше түрлі белгі беруге болады?

Шешуі: Есеп шартына сәйкес элементтер орналасу реті де, құрамы бойынша да ажыратылатын болғандықтан, орналастыру қолданылады:

Жауабы:30

2 - анықтама. Берілген әртүрлі n элементтен m элемент бойынша алмастырулар деп әрқайсысы бір бірінен тек орналасу реті бойынша ажыратылатын комбинацияларды айтамыз.

P_n =   = n!яғни

P_n = n!

Мысал 1.2.2: Егер 1, 2, 3 сандарынан әрбір сан кескінге бір рет енетін болса, неше үш орынды сан құруға болады?

Шешуі: Есеп шартына сәйкес элементтер тек орналасу реті бойынша ғана ажыратылатындықтан, алмастыру қолданылады:

Жауабы: 6

3 - анықтама. Берілген әртүрлі n элементтен m элемент бойынша терулер деп әрқайсысы бір бірінен тек құрамы бойынша ажыратылатын комбинацияларды айтамыз.

Мысал 1.2.3: Жәшіктегі 10 детальдан 3 детальды неше әдіспен алуға болады?

Шешуі:Есеп шартына сәйкес элементтер құрамы бойынша ажыратылғантықтан теру қолданылады:

Жауабы: 120

№17.

1. Меншіксіз интеграл ұғымы. Бірінші текті интегралдар.

2. Циркуль мен сызғыш арқылы салу туралы постулаттар жүйесі.