Р озділ 3 Використання індексного методу для аналізу впливу окремих факторів на показники.
Індексний метод дозволяє оцінити вплив окремих факторів на зміну соціально-економічних явищ. У загальному вигляді індекси двох факторної моделі взаємозв’язані так:
де
- індекс чинника х:
-
індекс чинника
.
З іншої сторони:
Абсолютні прирости за рахунок окремих факторів обчислюють як різницю між чисельником і знаменником відповідних факторних індексів. Так, загальний абсолютний приріст:
Вплив зміни екстенсивного чинника(кількісного) на результативний показник:
Вплив зміни інтенсивного чинника(якісного) х на результативний показник
Отже
З
Для побудови трьох факторних індексних моделей використовують такий взаємозв’язок:
Загальний абсолютний приріст
Вплив
чинника
на
результативний показник:
В
плив
чинника
на результативний показник:
Вплив чинника q на результативний показник:
Розглянемо
трьохфакторну
індексну модель залежності витрат на
матеріали(pmg)
від ціни на матеріали (P)
,питомих
витрат
(
та кількості продукції
(q).
Таблиця 3.2
Складові індексної моделі |
базисний |
поточний |
Абсолютна зміна
|
Відносна зміна,індекс |
Витрати на матеріали |
833,6 |
1234,9 |
401,3 |
1,48 |
Ціна на одиницю матеріалу |
200 |
300 |
100 |
1,5 |
Питомі витрати матеріалу |
0,3206 |
0,276 |
-0,0446 |
0.084 |
Кількість продукції |
13000 |
14903 |
1903 |
1,146 |
Розрахуємо індивідуальні індекси:
Індекс ціни
Іp=
Індекс питомих витрат
Іm=
Індекс кількості продукції
=
П
еревіримо
справедливість співвідношення
Іpmg = Іm* ІN IP=1,5*0,86*1,146 = 1,48
Визначимо вплив зміни ціни
pmg(P)=
Визначимо вплив зміни питомої ваги
pmg(m)=
Визначимо вплив зміни кількості продукції
pmg(q)=
Зробимо перевірку
Δpmg=Δpmg(P)+ Δpmg(m)+ Δpmg(q)=122022,6+412254-132934,76 =401340
Δpmg= Δpmg1- Δpmg0=1234900-833600=401300
Отже за рахунок збільшення ціни на сировину в 1,5 рази збільшуються витрати на матеріали на 412254 грн., а зменшення питомих витрат на 13,9% спричинили зменшення витрат на матеріали на 132934,76грн.,а за рахунок збільшення кількості продукції на 14,6% витрати на матеріали збільшуються на 122020,6 грн.
Р
озділ
4 Статистичні методи виявлення наявності
кореляційних звязків
Усі явища суспільного життя існують неізольовано, вони органічно пов’язані між собою, залежать одні від одних, зумовлюють одні одних і безперервно рухаються і розвиваються. Розкриваючи взаємозв’язки і взаємозалежність явищ, можна пізнати їхню сутність і закони розвитку. Тому вивчення взаємозв’язків є основним завданням статистичного аналізу.
Причинна залежність є головною формою закономірних зв’язків, які діють у певних умовах місяця і часу. Отже, для появи наслідку потрібні причини та умови, тобто відповідні фактори.
Суспільні явища або окремі їхні ознаки, які впливають на інші і зумовлюють їхню зміну, називають факторними, а суспільні явища або окремі
їхні ознаки, які змінюються під впливом факторних, називають результатними.
Усі багато чисельні взаємозв’язки між ознаками, котрі характеризують соціально-економічні явища і процеси, можна поділити на дві групи: функціональні (детерміновані) і стохастичні (ймовірності або кореляційні) зв’язки.
Функціональні (детерміновані) зв’язки характеризуються тим, що одному значенню факторної ознаки (Х) відповідає одне строго визначене (детерміноване) значення результативної ознаки (Y). Ці зв’язки завжди є повни За напрямком зміни факторної та результативної ознак зв’язки поділяються на прямі та обернені. При прямому зв’язку обидва показники змінюються в одному напрямку, тобто при збільшенні Х зростає також й Y. При оберненому зв’язку напрямок зміни показників протилежний, тобто при зростанні Х зменшується Y.
Підвидом стохастичних зв’язків є кореляційні зв’язки .
Кореляційні зв’язки – це зв’язки, коли окремим значенням незалежної змінної х відповідає середнє значення залежної змінної у.
Об'єктом кореляційного аналізу можуть бути не тільки статистичні (просторові) сукупності, а й сукупності, які характеризують зміну явищ у часі, тобто динамічні. Розроблена методологія кореляції для аналізу явищ у просторі не прийнятна для динамічних сукупностей. Тому при використанні кореляційного
м
етоду
необхідно знати особливості та межі
його використання. Насамперед це
стосується перевірки передбачень та
інтерпретації результатів аналізу
рядів динаміки. Як кореляційна модель,
так і її статистичні характеристики
мають конкретний економічний зміст і
висвітлюють економічне явище з певного
боку. Оскільки зміст статистичних
показників залежить від дотримання
вимог щодо їх обчислення, то дослідник
повинний вміти користуватися методологією
аналізу і пояснювати одержані результати.
Особливо це стосується досліджень
кореляції між рядами динаміки.
Під кореляцією рядів динаміки розуміють метод вивчення зв'язку між показниками, представленими їх значеннями в послідовні моменти або періоди часу. Кореляція рядів динаміки має свої особливості, які зумовлені тим, що ряд динаміки, по-перше, має короткочасні коливання (місячні,
квартальні, річні) і, по-друге, містить у собі такий компонент, як загальна тенденція в зміні показників ряду - "вісь кривої", або тренд. Під останнім розуміють зміну, яка визначає загальний напрям розвитку, основну тенденцію рядів динаміки. Лінію тренда можна порівняти з лінією регресії. Якщо остання являє собою плавну зміну результативної ознаки під впливом факторної, звільненої від дії всіх сторонніх (неврахованих) причин, то лінія тренда характеризує плавну у часі зміну явищ, викликаних різними обставинами короткочасних відхилень від загальної тенденції.
Наявність
тренда ускладнює кореляційний аналіз
рядів динаміки. Так, якщо ми,
тобто значення результативної ознаки
на 100% залежить від факторної. Наприклад,
тарифний денний заробіток (Y) при
фіксованій годинній тарифній ставці
залежить від кількості відпрацьованих
годин (Х) або
, де W- продуктивність праці; Q-
оборот(виручка) фірми, Т- затрати праці.
При стохастичному зв’язку одному значенню факторної ознаки (Х) може відповідати декілька значень результативної ознаки (Y). Важливою особливістю цих зв’язків є те, що вони мають риси статистичної закономірності та проявляються у масі спостережень, при достатньо великій чисельності сукупності. Названі зв’язки є неповними, тому що завжди існують невраховані фактори, отже значення Y залежить від значень Х менше, ніж на 100%.
А
втокореляція
– це залежність наступних рівнів
динамічного ряду від попередніх.
Наявність автокореляції порушує одну
з передумов регресійного аналізу –
незалежність спостережень і приводить
до викривлення його результатів.
З метою виявлення присутності чи відсутності автокореляції визначаємо значення коефіцієнтів автокореляції в рядах х та у та порівняємо їх з критичними значеннями.
Коефіцієнт автокореляції обчислюємо за формулою:
для ряду х:
Для ряду у:
Існує
декілька методів усунення автокореляції.
Одним з таких методів є метод введення
змінної величини
в рівняння регресії, де вона виконує
роль фактора часу. В цьому випадку
рівняння регресії матиме вигляд:
,
де
- параметр, який характеризує середній
приріст результативної ознаки на одиницю
приросту факторної ознаки
;
-
середній щорічний приріст
під впливом зміни комплексу факторів,
крім
.
Д
ля
визначення цих параметрів складають
систему нормальних рівнянь, яку
розв’язують методом підстановок або
Крамера.
Розв’язок
системи спрощується, якщо відлік часу
беруть з середини динамічного ряду,
тоді
.
Якщо в такий спосіб автокореляцію усунуто, то залишкові величини повинні бути між собою незалежними:
Цю гіпотезу перевіряють за допомогою коефіцієнта автокореляції залишкових величин, який обчислюють з певним часовим зсувом (лагом). При р=1 коефіцієнт автокореляції обчислюють за формулою:
Коефіцієнт
приймає
значення в межах від -1 до1.
Фактичне значення коефіцієнта автокореляції порівнюємо з критичним, яке беруть в таблицях математичної статистики. Якщо критичне значення автокореляції більше за фактичне, то це дає підстави стверджувати , що автокореляція залишкових величин неістотна. Отже автокореляція в рядах х, цим способом усунуто і побудовану кореляційну модель можна вважати адекватною.
Дослідимо кореляцію між доходом( виручкою) та власним капіталом.
Необхідні данні заносимо в таблицю 4.1:
Таблиця 4.1 – Показники доходу(виручки) від реалізації продукції та власного капіталу
Період років |
Дохід виручка від реалізації |
Валовий прибуток |
2007 |
2979,4 |
2,3 |
2008 |
4452 |
62 |
2009 |
5339 |
191 |
2010 |
5635 |
92 |
2011 |
8825 |
170 |
разом |
27230,4 |
517,3 |
П
обудуємо
коряліційне поле:
Описуємо зв'язок лінійним рівнянням регресії.
Визначимо, чи присутня автокореляція в ряді факторної ознаки х (дохід) та в ряді результативної ознаки у (Власний капітал).
-
рік
2007
2979,40
4452,00
13264288,80
8876824,36
19820304,00
2,3
62,0
142,600
5,29
3844,00
2008
4452,00
5339,00
23769228,00
19820304,00
28504921,00
62
191,0
11842,000
3844,00
36481,00
2009
5339,00
5635,00
30085265,00
28504921,00
31753225,00
191
92,0
17572,000
36481,00
8464,00
2010
5635,00
8825,00
49728875,00
31753225,00
77880625,00
92
170,0
15640,000
8464,00
28900,00
2011
8825,00
10284,40
90759830,00
77880625,00
105768883,36
170,00
211,925
36027,250
28900,00
44912,21
å
27230,40
34535,40
207607486,80
166835899,36
263727958,36
517,30
726,925
81223,9
77694,29
122601,21
Таблиця 4.2 – Обчислення коефіцієнта кореляції у рядах х та у
,
0,298
О
тже
автокореляція присутня у ряді х, так у
ряді у так, як розрахункові коефіцієнти
кореляції більше табличного значення
0,254 .(додаток Е методичних вказівок)
Усуваємо автокореляцію шляхом введення додаткової змінної t в рівняння регресії, яке в цьому випадку буде мати вигляд
Y=a0+a1x+a2t
П
араметри
рівняння регресії за методом найменших
квадратів знаходять із системи рівнянь:
a0n
+ a1
Розв’язуємо
цю систему рівнянь спрощеним методом
, коли відлік часу береться з середини
ряду і
тоді система рівнянь матиме вигляд:
a
0n
+
Необхідні обчислення наведено в таблиці 4.3
t |
x |
y |
t2 |
x2 |
yt |
xt |
xy |
-2 |
2979,4 |
2,3 |
4 |
8876824,36 |
-4,6 |
-5958,8 |
6852,62 |
-1 |
4452 |
62 |
1 |
19820304 |
-62 |
-4452 |
276024 |
0 |
5339 |
191 |
0 |
28504921 |
0 |
0 |
1019749 |
1 |
5635 |
92 |
1 |
31753225 |
92 |
5635 |
518420 |
2 |
8825 |
170 |
4 |
77880625 |
340 |
17650 |
1500250 |
|
27230,4 |
517,3 |
10 |
166835899,4 |
365,4 |
12874,2 |
3321295,62 |
a05
+
2730,4a0+ 166835899,4а1+а212874,2=3321295,62
12874,2a1 + 10a2 =365,4
Розв’язавши цю систему знаходимо: а0 =-44,63; а1 =0,027; а2=1,53
Рівняння регресії матиме вигляд: Y=-44,63+0,027 x-1,53
Якщо в такий спосіб автокореляцію усунуто, то залишкові величини повинні
бути між собою незалежними:
Цю гіпотезу перевіряють за допомогою коефіцієнта автокореляції залишкових величин, який обчислюють з певним часовим зсувом (лагом). При р=1 коефіцієнт автокореляції обчислюють за формулою:
Дані для розрахунку коефіцієнта автокореляції залишкових величин подати у вигляді таблиці 4.4
t |
у |
х |
Y(t) |
εt |
εt+1 |
εt εt+1 |
εt2 |
-2 |
2,3 |
2979,4 |
33,32118218 |
-31,0212 |
-574,131 |
17810,22234 |
962,3137436 |
-1 |
62 |
4452 |
74,89676016 |
-12,8968 |
250,055 |
-3224,899363 |
166,3264227 |
0 |
191 |
5339 |
100,5481861 |
90,45181 |
-213,722 |
-19331,54256 |
8181,530631 |
1 |
92 |
5635 |
110,1286185 |
-18,1286 |
178,7966 |
-3241,335356 |
328,6468098 |
2 |
170 |
8825 |
198,405253 |
-28,4053 |
359,0009 |
-10197,51139 |
806,8583976 |
0 |
517,3 |
27230,4 |
|
0 |
|
-18185,07 |
10445,68 |
Таблиця 4.4– Розрахунок коефіцієнта автокореляції залишкових величин
=- 0,195
Отже автокореляцію було усунено.