Розділ 2 Аналітичні показники та середні характеристики рядів динаміки. Трендові моделі.

Розрахунок характеристики динаміки ґрунтується на зіставлені рівнів ряду. Базою для зіставлення може бути попередній рівень, або початковий . У першому випадку база порівняння змінна, в другому – постійна. Характеристики динаміки, обчислені зіставленням суміжних рівнів, називають ланцюговими, а з постійною базою порівняння – базисними.

Залежно від статистичної природи показника (рівня) розрізняють динамічні ряди первинні та похідні, ряди абсолютних, середніх і відносних величин.

За ознакою часу ряди динаміки поділяють на такі:

• моментні — рівень фіксує стан явища на певний момент часу (t);

• інтервальні — рівень є агрегованим результатом процесу й залежить від тривалості часового інтервалу.

За повнотою часу, який відображається в рядах динаміки, розрізняють повні та неповні ряди. У повних рядах дати або періоди фіксуються один за одним з рівними інтервалами. У неповних рядах у послідовності часу рівний інтервал відсутній.

Методи обчислення середніх рівнів динамічних рядів залежать від їхнього виду.

Середній рівень інтервального ряду динаміки обчислюють за середньою арифметичною простою:

,

де n — кількість рівнів ряду.

Середній рівень повного моментного ряду обчислюють за середньою хронологічною моментного динамічного ряду:

.

Середній рівень неповного моментного ряду визначають за формулою

.

Д ля опису рядів динаміки використовують систему взаємозв’язаних характеристик: абсолютний приріст, темп зростання, темп приросту й абсолютне

значення одного процента приросту. Обчислення характеристик ґрунтується на порівнянні рівнів ряду.

Залежно від бази порівняння кожну з наведених характеристик поділяють на базисну та ланцюгову. Середню динаміку ряду за весь період часу описують середніми цих характеристик.

При порівнянні якогось певного рівня з попереднім (база порівняння змінна) отримані показники називають ланцюговими.

Якщо всі рівні ряду динаміки порівнюють з одним і тим самим рівнем (база порівняння стала), то здобуті показники називають базисними.

Сума послідовних ланцюгових абсолютних приростів дорівнює базисному за весь період, тобто кінцевому базисному приросту:

Δ_t = y_n – y₀.

Абсолютний приріст (Δ_t) характеризує збільшення (зменшення) рівня ряду за певний період в абсолютному вираженні.

Ланцюговий приріст

,

де y_t — рівень щодо конкретного моменту або інтервалу часу t; — рівень щодо попереднього моменту або інтервалу часу.

Базисний приріст

,

де y₀ — базисний рівень.

Середній абсолютний приріст (абсолютна швидкість динаміки) обчислюють діленням загального приросту за весь період на величину цього періоду у відповідних одиницях часу (рік, квартал, місяць тощо):

,

д е n — кількість ланцюгових абсолютних приростів; y_n — кінцевий рівень ряду.

Коефіцієнт зростання (K_t) показує, у скільки разів рівень y_t більший (менший) від рівня, узятого за базу порівняння (становить кратне

відношення рівнів):

базисний

;

ланцюговий

.

Якщо коефіцієнт зростання виражається у процентах, його називають темпом зростання (T_t) і обчислюють за такою формулою:

T_t = K_t ∙ 100 %.

Темп приросту (T_прt) — це відношення абсолютного приросту до початкового або попереднього (базисного), виражене у процентах:

базисний

;

ланцюговий

.

Темп приросту можна обчислити відніманням 100 % від відповідного темпу зростання:

T_прt = T_t – 100 %.

Середній темп зростання — це темп, під час обчислення якого враховують правило складних процентів, за якими змінюється відносна швидкість динаміки (нагромаджується приріст на приріст). Середній темп зростання розраховують за формулою

,

д е n — кількість темпів зростання за однакові інтервали часу.

Якщо абсолютних даних динамічного ряду немає, то середній темп

зростання ( ) можна обчислити за ланцюговими коефіцієнтами зростання:

,

де n — кількість ланцюгових коефіцієнтів зростання; T_1,2,…,n — ланцюгові темпи зростання у вигляді коефіцієнтів.

Абсолютне значення одного процента приросту — це відношення абсолютного приросту до темпу приросту:

базисне

;

ланцюгове

,

де % — абсолютне значення одного процента приросту; T_прt — темп приросту; Δ_t — абсолютний приріст; — рівень ряду, попередній щодо y₀.

Згідно варіанту № 1 ми будемо досліджувати динаміку Доходу(виручки) від реалізації за період з 2007 по 2011 роки. результати розрахунків представлено в таблиці 2.1

Т аблиця 2.1

	Чистий Дохід виручка від реаліза-ції	Абсолют-ний ланцюговий приріст, тис грн. +-	Абсолютний базисний приріст, тис грн. +-	Коефіцієнт зростан-ня ланцюговий	Кофіцієнт зростан-ня базисний	Темп зростання ланцюго-вий %	Темп зростання базісний %	Темп приросту ланцюго-вий %	Темп приросту базисний %	Абсолютне значення 1% приросту, тис грн
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2007	2979,4
2008	4452	1472,6	1472,6	1,49	1,49	149,4	149,4	49,43	49,4	29,794
2009	5339	887	2359,6	1,2	1,792	119,9	179,2	19,92	79,2	44,52
2010	5635	296	2655,6	1,06	1,89	105,5	189,1	5,5	89,1	53,39
2011	8825	3190	5845,6	1,6	2,96	156,6	296,2	56,6	196,2	56,35
разом	27230,4

Розрахуємо середні рівні динамічного ряду. Так, як данні звіту про фінансові результати представлені за рік то ряд динаміки є інтервальним і середній рівень динамічного ряду обчислюється як середня арифметична:

тис.грн.;

Середній абсолютний приріст:

тис.грн.

Середній коефіцієнт зростання:

Середній темп зростання:

Середній темп приросту:

Отже, підсумовуючи вищі наведенні розрахунки можна зробити наступні висновки:дохід(виручка) на підприємстві, що досліджується за період, має чітку тенденції до зростання , так у 2008 порівняно з 2007 віна зросла на 1472,6 тис.грн., у 2009 порівняно з 2008 роком віна збільшилась на 887 тис.грн.. У середньому вона становила 5446,08 тис. грн.. та мала середній щорічний приріст 146,4 тис.грн., або середній темп приросту 31,2%

Т енденцію розвитку явищ вивчають різними методами:

• укрупненням інтервалів:

• плинної середньої:

• аналітичного вирівнювання за математичними функціями, які називають рівняннями тренду.

Трендові рівняння використовують тоді, коли конкретний вплив окремих факторів на динаміку явища невідомий. В цьому випадку явище або показник представляють як функцію часу.використовують моделі типу y = f(x₁,x₂,…, x_n, t):

• лінійні — y = a₀ + a₁ x₁ + a₂ x₂+ … + a_n x_n + a_{n + 1} t;

• експоненційні — y = e ^{f (x1,…, xn, t)} тощо.

Параметри моделі (a₀, a₁,…, a_n) розраховують методом найменших квадратів.

За допомогою рівняння тренду y_t = f(t) описують тенденцію розвитку на основі рядів динаміки. Функціональний вигляд рівняння тренду відображає притаманний ряду характер динаміки.

Перевага надається функціям, параметри яких вимірюють абсолютну чи відносну швидкість розвитку, зокрема:

• лінійна — y = a₀ + a₁ t;

• парабола другого порядку — y = a₀ + a₁t + a₂t₂;

Параметр a₁ у лінійній функції відображає приріст, в експонен­ті — стабільний темп приросту, у параболі — початковий абсолютний приріст; параметр a₂ в параболі — прискорення. В усіх цих функціях t — порядковий номер періоду, a₀ — рівень ряду при t = 0.

• Для визначення придатності трендових функцій використовують середню квадратичну похибку:

• ,

де n — кількість членів динамічного ряду; m — кількість парамет­рів функції; У_t — члени емпіричного ряду; Y_t — члени теоретичного ряду, обчисленого за рівнянням тренду.

Моделювання розвитку передбачає якісну однорідність динамічного ряду.

Я кщо явище змінюється більш менш рівномірно (за арифметичною прогресією), то використовують лінійний тренд. Якщо ж явища змінюються рівномірно прискорено або сповільнено, використовують параболу ІІ порядку. Якщо ж рівні ряду змінюються за геометричною прогресією використовують степеневу функцію.

Як метод прогнозування широко використовують екстраполяцію тренду. Функцією бази екстраполяції Y_t та періоду прог­нозу K є рівень, що прогнозується (Y_t+K):

Y_t+K ± t_{1 – α}S_p,

де t_{1 – α} — довірчий коефіцієнт для ймовірності (при P = = 0,683 t_{1 – α} = 1, при P = 0,954 t_{1 – α} = 2, при P = 0,997 t_{1 – α} = 3); S_p — похибка прогнозу, що залежить від середньої квадратичної похибки S_ε, довжини аналітичного ряду n та періоду прогнозу K;

.

Методи статистичного аналізу та прогнозування доцільно використовувати на всіх рівнях обґрунтування управлінських рішень — від окремого підприємства до галузі, виду діяльності, регіону, економіки загалом.

Проводячи аналіз даних , які ми розраховуємо за допомогою таблиці 5.2

З допомогою програми Excel 2007 проведемо вирівнювання рядів за чотирма моделями – по прямій, параболі і гіперболі та експоненті З розрахунків видно що найкраще описує тенденцію зміни чистого доходу пряма, яку пропонуємо обрати для подальшого дослідження. Для вирівнювання за параболою другого порядку :

з находимо параметри із системи рівнянь :

М етодом підстановок знаходимо:

Таблиця 2.2

Згладжування динамічного ряду.					Y=a0+a1t за прямою
рік	Дохід виручка	t	yt	t2	згладжений Y
1	2	3	4	5	6
2007	2979,4	-2	-5958,8	4	3277,497
2008	4452	-1	-4452	1	3955,531
2009	5339	0	0	0	5039,823
2010	5635	1	5635	1	6530,371
2011	8825	2	17650	4	8427,177
разом	27230,4		12874,2	10	27230,4

Рис. 2.2 – Трендова крива

П родовження виявленої тенденції та прогнозування наступних невідомих рівнів називають екстраполяцією тренду. Прогнозний очікуваний рівень_t залежить від рівняння тренду та періоду упередження t. Визначимо прогноз чистого доходу

(виручки) на 2012 рік, t=3 Y₂₀₁₂= 9308,4 грн.

Визначаємо довірчий інтервал:Визначаємо довірчий інтервал зробленого прогнозу

Y_t-t_as_y Y_прог Y_t-t_as_y , де s_y – середньоквадратичне відхилення від тренду, t_a- квантиль нормального розподілу (див. додаток Д)

s_y=

Таблиця 2.3

Період років	Дохід (виручка)	Yt	yi- Yt	(yi- Yt)2
2007	2979,4	2871,24	108,16	11698,59
2008	4452	4158,66	293,34	86048,36
2009	5339	5446,08	-107,08	11466,13
2010	5635	6733,5	-1098,5	1206702,25
2011	8825	8020,92	804,08	646544,65
разом	27230,4	27230,4		1962459,96

s_y=

= 2558,15*2= 5116,31

9308,4- 5116,31 Y_прог 9308,4+5116,31

4192,09 Y_прог 14424,71

Отже з ймовірністю 0,95 можна стверджувати, що дохід(виручка) в 2012році буде не більший 14424,71 тис. грн. і не менший 4192,09 тис. грн.