24.Свойства средней арифметической величины и их практическое использование.

Наиболее распространённым видом средних величин является

средняя арифметическая. Она обладает рядом математических свойств, значение которых не только позволяет понять сущность средних, но и позволяет упростить расчёт средней величины (особенно в тех случаях, когда значения признака имеют достаточно громоздкий вид).

К основным математическим свойствам средней величины относятся следующие:

1. Произведение средней величины на сумму всех частот равно

сумме произведений индивидуальных значений признака на

соответствующие частоты

2.Сумма отклонений индивидуальных значений признака от

средней величины равна 0:

∑(x−x(ср))= 0 − для несгруппированных данных;

∑(x−x(ср))* f = 0 − для сгруппированных данных.

3.Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней величины меньше суммы квадратов их отклонений от любой другой постоянной величины (х0):

∑(x−x(ср))^2 меньше∑(x−x0)^2 − для несгруппированных данных;

∑(x−x(ср))^2 * f меньше∑(x−x0)^2 * f − для сгруппированных данных

4.Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин

если xi = yi + zi, то xср = yср + zср .

5.Если все варианты ряда уменьшить (увеличить) в А раз, то средняя уменьшается (увеличивается) в А раз

6. Если все варианты ряда уменьшить (увеличить) на одно и то же число х0, то и средняя величина уменьшиться (увеличиться) на х0

7. Если все частоты ряда разделить (умножить) на одно и то же число b, то средняя не изменится.

Последние три свойства из перечисленных могут использоваться одновременно для упрощения расчетов, и тогда считается, что средняя рассчитывается по «способу моментов» или «методом отсчета от условного нуля».

В данном случае важен факт правильного выбора А (чаще всего это величина интервала) и х0 (чаще всего это середина какого-либо интервала).

Исчисление средней по «способу моментов» производится по формуле, вид которой меняется в зависимости от порядка применения свойств:

или

25. Мода и медиана, способы их вычисления и способы применения.

Мода и медиана относятся к структурным средним и применяются для изучения внутреннего строения рядов распределения признака.

Мода (µ0) − это наиболее часто встречающаяся величина признака в вариационном ряду.

Например, стаж работы, лет, Х: 5, 2,10,15, 2, 5, 7, 8, 5. µ 0 = 5.

В дискретном ряду моду будет представлять то значение признака (та варианта), которое имеет наибольшую частоту.

Для расчета моды в интервальном ряду вначале определяется модальный интервал, т.е. интервал, имеющий наибольшую частоту.

Затем рассчитывают моду по формуле

где xµ0 − начальная граница модального интервала,

iµ0 − ширина модального интервала,

fµo − частота модального интервала,

fµ0-1 − частота интервала, предшествующего модальному,

fµ0+1 − частота интервала, следующего за модальным.

При определении моды в интервальном ряду графическим способом на гистограмме внутри прямоугольника с наибольшей

частотой проводят две линии:

1 − соединяет его правый верхний угол с правым верхним углом предшествующего столбика.

2 − соединяет его левый верхний угол с левым верхним углом следующего.

Абсцисса их точки пересечения и есть мода.

Медиана (µе) – это величина варьирующего признака, которая

находится в середине ранжированного ряда.

Например, стаж работы, лет (х): 5, 2, 10, 15, 2, 5, 7, 8, 5.

В начале ранжируем ряд:

х: 2, 2, 5, 5, 5, 7, 8, 10, 15

µе = 5

Т.е. медиана делит ряд на 2 части, равные по численности.

Половина значений меньше (либо равны) медианы, а вторая – больше (либо равны). Если ряд состоит из нечетного количества уровней (вариант), то порядковый номер медианы в ранжированном ряду

Если же ряд состоит из четного количества уровней, то медиана

определяется как средняя арифметическая из варианты под

и варианты

При определении медианы в дискретном ряду используют способ накопления частот. Частоты накапливают до тех пор, пока сумма накопленных частот (Sµe) не будет равна или больше половины суммы всех частот (Σf). Последняя накопленная частота и будет указывать то значение признака, которое является медианой.

В случае, если сумма накопленных частот составила ровно половину всех частот, медиана определяется как средняя из данного уровня и следующего за ним.

Для определения медианы в интервальном ряду вначале с помощью суммы накопленных частот определяют медианный интервал, а затем рассчитывают медиану по формуле

где Хµе − начальная граница медианного интервала;

iµe − ширина медианного интервала;

fµe − частота медианного интервала;

Sµe-1 − сумма накопленных частот интервала, предшествующего

медианному.

Для графического определения медианы используют кумуляту: последнюю ординату кумуляты делят пополам и через полученную точку проводят прямую параллельную оси абсцисс. Абсцисса точки пересечения этой прямой с кумулятой и есть медиана.