Примеры для самостоятельного решения

Вычислить интегралы:

1) , 2) , 3) , 4) .

Ответы: 1) , 2) , 3) , 4)

5.3. Замена переменной в определенном интеграле

Пусть требуется вычислить определенный интеграл от функции , непрерывной на отрезке . Сделаем замену переменной, положив . При этом будем предполагать, что выполняются следующие условия:

1. функция непрерывна вместе со своей производной на отрезке с концами ;

2. при изменении t от до значения функции не выходят за пределы отрезка ;

3. .

Тогда имеет место следующая формула замены переменной в определенном интеграле

. (5.7)

Таким образом, при замене переменной в определенном интеграле следует:

1. заменить переменную на удачно подобранную функцию ;

2. заменить на ;

3. заменить отрезок изменения переменной на отрезок изменения переменной , найдя и из условий ;

4. вычислить получившийся определенный интеграл.

Отметим, что при вычислении определенного интеграла по формуле (5.7) не надо возвращаться к старой переменной, как это приходилось делать при замене переменной в неопределенном интеграле. Рекомендации же по выбору новой переменной такие же, как и для неопределенного интеграла.

Пример 5.6. Вычислить интеграл .

Решение. Введем новую переменную , положив . Тогда .

Найдем пределы изменения новой переменной : при имеем ;

при имеем . Поэтому в соответствии с формулой (5.7) имеем:

.

Пример 5.7. Вычислить интеграл .

Решение. Чтобы исчез корень под знаком интеграла, положим . Тогда

. Найдем и пределы изменения новой переменной: при имеем , ; при имеем , .

Тогда .

С помощью замены переменной выведем ряд полезных следствий.

Следствие 1. Если функция − нечетная на отрезке , то .

Действительно, имеем: . В интеграле I₁ сделаем замену переменной . Тогда ; в силу нечетности функции . При имеем ; при имеем . Поэтому

, а .

Следствие 2. Если функция − четная на , то .

Эта формула выводится так же, как предыдущая.

Пример 5.8. Вычислить интегралы

, .

Решение. Функция является нечетной, поэтому интеграл .

Функции являются нечетными, поэтому интеграл . Функция является четной, поэтому

, .

Следствие 3. Пусть функция имеет период T. Тогда

для любого числа .

Вывод этой формулы опустим.

Пример 5.9. Вычислить .

Решение. Функция имеет период , равный длине промежутка интегрирования. Используя следствие 3, сдвинем промежуток интегрирования вдоль оси на ( ) и воспользуемся следствием 1, так как функция − нечетная. Тогда .

Примеры для самостоятельного решения

1. Вычислить интегралы: а) , б) , в) .

Указание. Сделать замену переменной а) , б) , в) .

Ответ: а) , б) , в) .

2. Доказать равенства

а) , б) , в)

Указание. Воспользоваться следствиями 1, 2, 3.