Примеры для самостоятельного решения

Найти интегралы: 1. , 2. , 3. .

Указания: в примере 1 учесть, что ;

в примере 3 учесть, что .

Ответы. 1. , 2. ,

3. ,

3.4. Интегрирование по справочникам

Для отыскания неопределенных интегралов издаются обширные справочники (см. [7]). При пользовании такими справочниками надо внимательно познакомиться с принципами, по которым в них группируются интегралы. Для успешного использования справочников надо знать свойства неопределенных интегралов и основные методы интегрирования, так как многих интегралов в справочниках нет, но их легко можно привести к табличным интегралам с помощью некоторых преобразований.

Например, интеграл отсутствует в справочниках. Прежде

чем использовать справочники, надо выделить из квадратного трехчлена полный квадрат и сделать замену , .

Тогда

.

Каждый из трех получившихся интегралов есть в справочниках. После их отыскания надо подставить .

3.5. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

Мы рассмотрели классы функций, интегралы от которых выражаются через элементарные функции. Но некоторые интегралы нельзя выразить через элементарные функции. Отметим ряд таких интегралов, имеющих большое прикладное значение:

С некоторыми из этих интегралов вы позднее встретитесь, например с первым интегралом – в теории вероятностей, со вторым и третьим интегралами – в физике.

Глава 2. Определенный и несобственный интегралы

Определенный интеграл возник в связи с вычислением площадей и объемов фигур. К нему приводят и многие физические задачи, например, отыскание массы и центра тяжести неоднородного стержня.

7. Понятие определенного интеграла и его свойства

В школьном курсе математики определенный интеграл был введен с помощью первообразной. Мы рассмотрим другой подход − через интегральные суммы. Этот подход является более общим; с его помощью вводятся и другие типы интегралов − двойные, тройные, криволинейные, поверхностные.

Рассмотрим одну из задач, приводящую к понятию определенного интеграла.

4.1. Задача о массе стержня

Рассмотрим тонкий стержень, поперечными размерами которого можно пренебречь. Стержень мысленно представим в виде отрезка на оси . Пусть известна плотность распределения массы в каждой точке x стержня. Пусть функция непрерывна на .

Для вычисления массы стержня разобьем отрезок на n частей (ячеек) с длинами (рис.1). В этих ячейках выберем произвольно точки . В силу непрерывности функции и малости каждой ячейки п

лотность в точках ячейки можно приблизительно считать постоянной, равной плотности в выбранной точке. Тогда масса ячейки приближенно равна произведению плотности на длину ячейки. Обозначив массы ячеек получим:

.

Суммируя массы всех ячеек, получим приближенное значение массы стержня

.

Для краткой записи такой суммы используют специальный символ , рядом с ним записывают произвольное е слагаемое и указывают, что меняется от до . Итак, . Это приближенное равенство будет тем точнее, чем меньше длины всех ячеек (или максимальная из длин ячеек, обозначим ее ). Точное значение массы стержня определяется как предел этой суммы при стремящемся к нулю:

. (4.1)

Этот предел называется определенным интегралом от функции по отрезку и обозначается .

К пределам такого типа приводят и другие задачи, например, о площади плоской фигуры или о работе переменной силы по прямолинейному перемещению. Абстрагируясь от конкретных задач, дадим общее понятие определенного интеграла.