Примеры для самостоятельного решения
1.
(замена
),
2.
(замена
),
3.
(замена
),
4.
(замена
).
Ответы.
1.
,
2.
,
3.
,
4.
.
2.3. Метод интегрирования по частям
Пусть
,
–
дифференцируемые функции. Тогда
и
.
Используя
свойство
,
получим
или
.
(2.6)
Эта
формула называется формулой интегрирования
по частям. Формула применяется, когда
подынтегральное выражение можно
представить в виде произведения двух
множителей
и
так, чтобы отыскание функции
по ее дифференциалу и вычисление
интеграла
составляли в совокупности задачу более
простую, чем вычисление интеграла
.
Умение разбивать разумным образом подынтегральное выражение на множители и вырабатывается в процессе решения задач. Укажем, когда и
как это делается в некоторых случаях:
1)
интегралы
(где
–
многочлен) вычисляются многократным
интегрированием по частям, причем
следует взять
,
а оставшееся выражение взять за
;
при каждом применении формулы (2.6) степень
многочлена будет понижаться на единицу;
2)
интегралы вида
также вычисляются методом интегрирования
по частям, но за
следует взять соответственно функции
.
Пример
2.8.
Найти интеграл
.
Положим
.
Тогда
,
.
При
отыскании функции
мы взяли постоянную интегрирования
.
Легко
проверить, что это не повлияет на конечный
результат. Теперь применим формулу
(2.6):
.
Еще
раз применим формулу интегрирования
по частям, положив
.
Тогда
,
.
Заметим,
что если в первоначальном интеграле
положить
,
то
формула (2.6) приведет к интегралу
,
более сложному, чем первоначальный.
Пример
2.9.
Найти
.
Положим
.
Тогда
,
и, используя формулу (2.6), получим
.
Преобразуем
подынтегральную функцию:
.
Тогда
Итак,
окончательно,
.
Мы рассмотрели основные методы интегрирования – метод подведения под знак дифференциала, метод интегрирования по частям, метод замены переменной. Но эти методы далеко не всегда облегчают отыскание интеграла. Далее мы рассмотрим некоторые классы функций, для интегрирования которых есть свои специальные приемы.
Примеры для самостоятельного решения
Найти
интегралы: 1.
,
2.
,
3.
.
Ответы.
1.
,
2.
,
3.
.
Интегрирование некоторых классов функций
Интегрирование тригонометрических функций
Выделим несколько случаев.
Случай
1.
,где
хотя бы одно из чисел ,
– положительное
нечетное
число.
В этом случае следует отделить от
нечетной степени sin
x
(или
)
одну степень и подвести ее под знак
дифференциала.
Пример
3.1.
Найти
.
Подынтегральная
функция
содержит
в
нечетной положительной степени. Поэтому
отделим в числителе
и воспользуемся тем, что
,
а
.
Тогда
.
Случай
2.
,
где
– четные
неотрицательные
числа. В этом случае следует понизить
степень, используя формулы удвоения
угла:
.
(3.1)
Пример
3.2.
Найти
.
Подынтегральная
функция содержит
и
в четной степени. Поэтому понизим
степени, используя формулы (3.1):
.
Случай
3.
,
где
– целые числа и
.
Следует
подынтегральное выражение выразить
через
и
,
или через
и
.
Пример
3.3.
,
.