Глава 1. Неопределенный интеграл

Одной из основных задач дифференциального исчисления является нахождение производной заданной функции. Различные вопросы математики, естествознания, техники приводят к решению обратной задачи – восстановлению функции по заданным ее производной или дифференциалу. Решение этой задачи основано на понятии первообразной и неопределенного интеграла.

7. Неопределенный интеграл и его свойства

   2. Понятие первообразной и неопределенного интеграла

Функция называется первообразной для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка

. (1.1)

Например, функция является первообразной для функции на всей числовой оси, так как .

Теорема 1.1. Пусть функция является первообразной для функции . Тогда функции ( произвольная постоянная) и только они являются первообразными для .

Доказательство. Если – первообразная для , то . Очевидно, что функции также будут являться первообразными для , так как

.

Покажем, что функциями вида исчерпываются все первообразные для функции . Действительно, пусть ) – две первообразные для . Тогда . Рассмотрим вспомогательную функцию . Для нее имеем: Следовательно, по следствию из теоремы Лагранжа, функция постоянна, то есть . Поэтому или . Итак, все первообразные функции имеют вид , где одна из первообразных функции .

Множество всех первообразных функции называется

неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Таким образом,

, (1.2)

где – первообразная для функции на промежутке X.

Функция называется подынтегральной функцией, выражение называется подынтегральным выражением, переменная называется переменной интегрирования, число C – постоянной интегрирования.

Так как , то для того чтобы проверить, правильно ли вычислен интеграл, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Например, 1) при , так как ;

2) , так как ;

действительно, при имеем ; при имеем

.

1.2. Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению .

3. Неопределенный интеграл от производной равен самой функции плюс произвольная константа

или .

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла

.

5. Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций

.

Это свойство справедливо также для любого конечного числа слагаемых.

6. Свойство инвариантности: вид формулы интегрирования останется неизменным (инвариантным), если независимую переменную заменить любой дифференцируемой функцией , то есть

если то .

Проверим эти свойства.

1-е свойство следует из определений неопределенного интеграла и первообразной:

.

2-е свойство следует из предыдущего свойства, так как дифференциал функции равен ее производной, умноженной на дифференциал аргумента.

Самостоятельно проверьте 3-е, 4-е и 5-е свойства дифференцированием результата и получением при этом подынтегральной функции.

6-е свойство следует из того, что если – первообразная для , то . Тогда по свойству инвариантности первого дифференциала и .

Рассмотрим несколько примеров на применение этих свойств.

Выше было показано, что . Тогда и по свойству инвариантности .

Здесь . В дальнейшем, когда будет встречаться сумма интегралов, будем сразу писать одну произвольную постоянную.

Задача интегрирования принципиально труднее задачи дифференцирования. В дифференциальном исчислении существуют правила дифференцирования суммы, произведения, частного, сложных и обратных функций. В интегральном исчислении правил для интегрирования произведения, частного, сложной и обратной функции нет. Имеются лишь отдельные приемы, позволяющие интегрировать некоторые классы функций. Они будут рассмотрены далее. Но сначала приведем таблицу так называемых основных интегралов.