7.2. Несобственные интегралы второго рода

П усть функция непрерывна на промежутке и неограничена вблизи точки х = b (рис.19). Рассмотрим . Этот предел называется несобственным интегралом второго рода и обозначается :

. (7.6)

Е

Рис.19

сли этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае несобственный интеграл называется расходящимся.

А налогично для функции , непрерывной на промежутке и неограниченной вблизи точки х=а (рис.20), несобственный интеграл определяется следующим образом:

. (7.7)

Рис.20

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

П

Рис.21

усть теперь функция непрерывна на отрезке всюду, кроме некоторой точки , и неограничена вблизи точки х = с (рис.21). Несобственный интеграл в этом случае определяется равенством

.

Если каждый из интегралов в правой части равенства сходится, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Пусть неограничена вблизи точки х = b и – первообразная для функции на промежутке . Используя формулу Ньютона-Лейбница, получим

.

Если обозначить = через , то получим следующий аналог формулы Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла второго рода:

, где = . (7.8)

Аналогично для функции , неограниченной вблизи точки х = а,

, где = .

Пример 7.3. Вычислить несобственные интегралы или доказать, что они расходятся: а) , б) .

Решение. В первом интеграле подынтегральная функция неограничена при , поэтому интеграл является несобственным. Применим обобщенную формулу Ньютона-Лейбница:

.

Во втором интеграле подынтегральная функция неограничена вблизи точки . Поэтому, по определению, , при этом . Поэтому интеграл − расходится. Отметим, что если бы мы стали вычислять данный интеграл, не обращая внимание на разрыв подынтегральной функции в точке , то получили бы неверный результат .

Рассмотрим геометрический смысл несобственного интеграла второго рода. Пусть неограничена вблизи , непрерывна на и (рис.20). Тогда равен площади фигуры, ограниченной снизу отрезком оси , сверху – линией , слева и справа – прямыми . При стремлении к , прямая cтремится к прямой . Поэтому естественно принять за площадь бесконечной фигуры, ограниченной снизу отрезком оси , сверху – линией , слева и справа – прямыми .

Примеры для самостоятельного решения

1. Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость):

а) , б) , в) , г) , е) .

Ответ: а) , б) , в) расходится, г) расходится, д) расходится.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , . Ответ: 8/3.

3. Фигура ограничена линиями , . Найти объем тела вращении этой фигуры: а) вокруг оси , б) вокруг оси . Ответ: а) , б) 2 .