Примеры для самостоятельного решения

1. Вычислить длину дуги полукубической параболы , заключенной между точками . Ответ:

2. Вычислить длину астроиды Ответ: 6.

7. Несобственные интегралы

При введении определенного интеграла мы предполагали, что отрезок – конечный, а функция ограничена на этом отрезке. Пусть нарушается хотя бы одно из этих условий. В этих случаях вводят обобщение определенного интеграла – несобственные интегралы.

7.1. Несобственные интегралы первого рода

Пусть функция непрерывна на промежутке . Рассмотрим . Он называется несобственным интегралом первого рода и о бозначается :

. (7.1)

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл и для промежутка :

, (7.2)

Для функции , непрерывной на промежутке , несобственный интеграл определяется равенством:

, (7.3)

где любое число. Несобственный интеграл в левой части называется сходящимся, если сходится каждый несобственный интеграл в правой части.

Пусть – первообразная для функции на промежутке . Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница для интеграла . Тогда

.

Если обозначить = , то можно записать

. (7.4)

Эту формулу называют обобщенной формулой Ньютона-Лейбница.

Аналогично, если обозначить , то

, . (7.5)

Пример 7.1. Вычислить несобственные интегралы или доказать, что они расходятся: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

Решение. Воспользуемся обобщенной формулой Ньютона-Лейбница:

1. (интеграл сходится);

2. (интеграл расходится);

3. ; этот предел не существует, поэтому интеграл расходится;

4. (интеграл сходится);

5. (интеграл сходится).

В

Рис.13

ыясним геометрический смысл несобственного интеграла первого рода. Пусть на промежутке . Тогда численно равен площади фигуры, ограниченной снизу отрезком оси , сверху – линией , слева и справа – прямыми и (рис.13). При возрастании прямая , ограничивающая эту фигуру, движется вправо, а интеграл стремится к интегралу . Поэтому величину интеграла естественно принять за площадь бесконечной фигуры, ограниченной снизу осью , сверху − графиком функции , слева – прямой (рис.13).

А

Рис.14

налогично, для случая численно равен площади бесконечной фигуры, ограниченной снизу осью , сверху − кривой , справа − прямой (рис.14).

Пример 7.2. Вычислить площади фигур, ограниченных осью , линией , прямой , если а) = , , ; б) = , , ;

в) , , ; г) , .

Решение. Построим фигуры, ограниченные данными линиями (рис.15, 16, 17, 18).

Воспользуемся результатами примера 7.1:

а) ; б) ; в) ; г) .

Итак, фигуры, изображенные на рис.15, 17, 18 имеют конечные площади, а фигура, изображенная на рис.16, имеет бесконечную площадь.

Рис.15 Рис.16 Рис.17 Рис.18