6.2. Объем тела вращения

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси фигуры, ограниченной непрерывной кривой , осью и прямыми (рис.9). Разобьем отрезок на частей точками Проведем через точки деления плоскости, перпендикулярные оси . Сечение тела вращения плоскостью есть круг радиуса с площадью .

Проведенные плоскости разобьют тело на слои. Каждый й слой приближенно заменим прямым цилиндром (рис.9) с радиусом , высотой и объемом .

Сумма объемов всех цилиндров равна .

Рис.10

Рис. 9

Объем тела вращения определяется как предел этой суммы

при стремлении к нулю величины . Мы получили предел интегральной суммы функции по отрезку , который равен интегралу . Итак, объем тела, полученного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной кривой , осью и прямыми , вычисляется по формуле

или . (6.4)

Аналогично определяется объем тела, полученного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной линией , осью , прямыми (рис.10):

или . (6.5)

Пример 6.4. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями ,

а) вокруг оси , б) вокруг оси .

Решение. Построим параболу прямые

и

Рис.11

заштрихуем фигуру, ограниченную этими линиями (рис.11). Объем тела, полученного при вращении этой фигуры вокруг оси , вычислим по формуле (6.4):

Так как подынтегральная функция − четная, то воспользуемся следствием 2 п. 5.3:

Для вычисления объема тела вращения фигуры вокруг оси нельзя непосредственно воспользоваться формулой (6.5), так как фигура сверху ограничена не прямой, а параболой. Поэтому сначала рассмотрим фигуру, ограниченную прямой , осью , прямыми . При ее вращении вокруг оси получим цилиндр, объем которого можно вычислить по формуле или по формуле (6.5)

Теперь рассмотрим фигуру, ограниченную линиями осью и прямой . При ее вращении вокруг оси получим тело, объем которого можно вычислить по формуле (6.5)

Тогда искомый объем будет равен разности

Примеры для самостоятельного решения

1. Фигура, ограниченная эллипсом вращается а) вокруг

оси , б) вокруг оси . Найти объем получающихся эллипсоидов вращения. Ответ: а) б)

2. Фигура, ограниченная дугами парабол и , вращается вокруг оси . Вычислить объем тела вращения. Ответ:

6.3. Длина дуги кривой

Рассмотрим на плоскости дугу АВ кривой Будем предполагать, что функция непрерывна вместе со своей производной на . Приведем без вывода формулу для вычисления длины дуги кривой:

. (6.6)

Иногда удобнее использовать уравнение кривой в виде . Тогда

. (6.7)

Если уравнение плоской кривой задано в параметрической форме:

, (6.8)

то длина дуги кривой вычисляется по формуле

. (6.9)

Аналогично, для пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями , длина дуги вычисляется по формуле

. (6.10)

Рассмотрим еще вопрос о дифференциале переменной длины дуги. Если рассмотреть плоскую дугу с уравнением где − переменная точка дуги с абсциссой , то ее длина вычисляется по формуле (6.6) и является функцией от . Производную этой функции получим, дифференцируя интеграл по переменному верхнему пределу Тогда дифференциал переменной длины дуги или

.

Аналогичные формулы имеют место в остальных случаях, например, для пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями,

Пример 6.5. Вычислить длину дуги кривой .

Решение. Уравнение кривой разрешено относительно , поэтому воспользуемся формулой (6.7), учитывая, что

Тогда

Пример 6.6. Найти длину петли линии

Решение. Составим таблицу значений функций при различных значениях :

t	−2	−1	0	1	2
x	12	3	0	3	12
y	2	−2	0	2	−2

В соответствии с этой таблицей построим на плоскости точки

С

Рис.12

оединим эти точки линией (рис.12). Петля построенной линии − это дуга симметричная относительно оси (симметрия объясняется четностью функции и нечетностью функции ). Поэтому длина всей дуги в 2 раза больше длины половины петли . Для вычисления воспользуемся формулой (6.9):

У точки и у точки ордината , то есть отсюда (для точки ), (для точки А). Для дуги значения поэтому Тогда