6. Геометрические приложения определенного интеграла

6.1. Площадь плоской фигуры

Пусть фигура в плоскости XOY ограничена линиями , причем − непрерывная неотрицательная функция на (рис. 3).

Рис.3

Разобьем отрезок на n частичных отрезков с длинами . Через точки деления проведем вертикальные прямые, которые разделят фигуру на вертикальных полосок. Каждую ю вертикальную полоску заменим прямоугольником площади с основанием, равным , и высотой равной , где − произвольно выбранная точка на м частичном отрезке. Тогда

.

Суммируя площади всех прямоугольников, получим

Площадь S заданной фигуры определяется как предел полученной суммы при стремлении к нулю . Мы получили предел интегральной суммы непрерывной функции по отрезку , то есть интеграл . Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями , при условии, что , вычисляется по формуле

или . (6.1)

П ример 6.1. Вычислить интеграл

Р

Рис.4

ешение. Этот интеграл можно вычислить (пример 5.7) заменой переменной Рассмотрим другой способ. Исходя из формулы (6.1), интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной линиями , , . Построим эти линии, учитывая, что уравнение определяет ту часть окружности , где (рис.4). Полученная фигура есть четверть круга с площадью . Таким образом,

П

Рис.5

ерейдем к более общему случаю. Пусть фигура в плоскости XOY ограничена линиями , причем на (рис.5). Аналогичным образом, как в предыдущем случае, можно получить следующую формулу для площади S такой фигуры:

. (6.2)

И

Рис.6

ногда вычисления значительно упрощаются, если поменять ролями оси и . Пусть фигура в плоскости ограничена линиями , причем на (рис.6). Тогда

. (6.3)

П ример 6.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Р

Рис.7

ешение. Построим заданные линии и заштрихуем фигуру, ограниченную этими линиями (рис.7). Снизу фигура ограничена линией , сверху – линией ,

меняется на отрезке . Для вычисления площади фигуры воспользуемся формулой (6.2):

.

П ример 6.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Р

Рис.8

ешение. Уравнение или определяет параболу с вершиной , осью симметрии − осью (рис.8). Уравнение определяет прямую, проходящую через точки , . Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений: , . Получим точку и точку .

Вычислим площадь по формуле (6.3), так как уравнение параболы удобнее разрешить относительно . Слева фигура ограничена дугой параболы CAB, на которой , справа – отрезком прямой BC, на котором ; меняется от до . Поэтому по формуле (6.3) имеем

Примеры для самостоятельного решения

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

а) б) . Ответ: а) б)

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямой и осью OY. Ответ: 12.