Непрерывная случайная величина и плотность распределения

Случайная величина X называется непрерывной, если ее пространством элементарных событий является вся числовая ось (либо отрезок (отрезки) числовой оси), а вероятность наступления любого элементарного события равна нулю.

(7.1)

Пусть имеется непрерывная СВ с функцией распределения , которую мы предполагаем непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой СВ на участок от до , т.е. приращение функции распределения на этом участке:

(7.2)

Найдем отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать к 0. В пределе получим производную от функции распределения, т.е.:

(7.3)

Функция производная функции распределения – характеризует плотность, с которой распределяются значения СВ в данной точке.

Эта функция называется плотностью распределения (иначе – "плотностью вероятности") непрерывной СВ X.

Плотность распределения является одной из форм закона распределения. Эта форма не является универсальной, т. к. существует только для непрерывных СВ. Рассмотрим непрерывную СВ X с плотностью распределения и элементарный участок , примыкающий к точке .

Рис. 7.1. Вероятность попадания на элементарный интервал

Вероятность попадания СВ X на этот элементарный участок(с точность до бесконечно малых высшего порядка) равна . Геометрически – это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок (см. рис. 7.1.).

Выразим вероятность попадания СВ X на отрезок от до через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем участке, т.е. интегралу:

(7.4)

Рис. 7.2. Вероятность попадания на интервал

Т.о. геометрически вероятность попадания величины на участок равна площади фигуры, ограниченной кривой распределения и опирающейся на этот участок (рис.7.2.).

Формула (7.3) выражает плотность распределения через функцию распределения. Поставим обратную задачу – выразим функцию распределения через плотность. По определению

(7.5)

Из (7.5) с учетом (7.4) получим:

(7.6)

Геометрически есть не что иное, площадь фигуры, ограниченной плотностью распределения (сверху) и осью абсцисс (снизу) и лежащей левее точки (см. рис. 7.3.).

Рис.7.3. Вычисление функции распределения через плотность

Основные свойства плотности распределения

1. Плотность распределения является неотрицательной функцией

. (7.7)

Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения функция неубывающая.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице. Действительно,

(7.8)

Геометрически основные свойства плотности распределения означают следующее:

• вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

• площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1

Функция распределения непрерывной СВ равна

Необходимо найти: коэффициент , плотность распределения , и, наконец, вероятность .

Решение а) Т.к. функция непрерывная, то при , т.е.

.

б)

в)

Пример 2

СВ подчинена закону распределения с плотностью

Необходимо: а) найти коэффициент ; б) построить график плотности распределения ; в) найти и построить график; г) найти вероятность попадания СВ на участок .

Решение а)

б)

в) По формуле (7.6) получим выражение для функции распределения:

г)

На практике в теории вероятностей применяют характеристики положения случайных величин, отражающие те или другие особенности распределения.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность или плотность вероятности достигает максимума).

Если вероятность или плотность вероятности достигает максимума в одной точке, распределение называется унимодальным, если же максимум достигается в нескольких точках, распределение называется полимодальным (рис. 7.4).

Рис.7.4. Мода распределения

Медианой случайной величины называется такое ее значение, при котором вероятность того, что СВ одинаково вероятна тому, что СВ и будет равна 0.5.

(7.9)

(7.10)

Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам (функция распределения равна 0.5) (рис. 7.5.).

Рис. 7.5. Медиана распределения

Квантилем уровня (или квантилем) называется такое значение случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное , т.е.

(7.10)

Некоторые квантили получили особое название. Очевидно, что определенная выше медиана случайной величины есть квантиль уровня 0.5, т.е. . Квантили и получили название соответственно верхнего и нижнего квартилей.

С понятием квантиля тесно связано понятие процентной точки. Под ной точкой подразумевается квантиль , т.е. такое значение случайной величины , при котором .